Soñan os babilonios con multiplicacións eléctricas?

[Esta é unha tradución adaptada do artigo orixinal de 7 de setembro de 2016 ¿Sueñan los babilonios con multiplicaciones eléctricas?, de Raúl Ibáñez Torres, que pode lerse nesta ligazón.]

Un dos temas presentes na materia de Matemáticas no ensino secundario é o das identidades (ou igualdades) notables, é dicir, as expresións alxébricas do cadrado da suma e da resta, como tamén o produto da suma pola resta, que se empregan para o estudo das ecuacións alxébricas e na resolución de problemas matemáticos.

imagen-1-260x108
Identidades notables.

Estas expresións alxébricas adoitan causar bastante rexeitamento nos estudantes, que as estudan de cor a pesar de que a súa demostración é sinxela, e que ademais non entenden o motivo de estudar algo que non ten ningunha utilidade aparente, alén do temario da clase.

imagen-2-640x329
Diagrama xeométrico asociado á expresión alxébrica do cadrado da suma.

O primeiro documento histórico no cal se comprenden as dúas expresións notables para o cadrado da suma e da resta é o tratado Os elementos, do matemático grego Euclides de Alexandría (ca. 325–265 a. de C.); en concreto, as Proposicións 4 e 7 do Libro ii. Por suposto, non aparecen coma as expresións alxébricas que empregamos nós na actualidade, senón que están expresadas nunha linguaxe normal. Por exemplo, o texto da Proposición 4 di o seguinte (acompañado cun diagrama semellante ao anterior, pero sen as letras): «Se unha liña recta é dividida en dúas partes, o cadrado de toda a liña é igual aos cadrados das partes, xunto a dúas veces o rectángulo comprendido polas súas partes».

imagen-3-640x419
Páxina da edición ilustrada de Oliver Byrne de 1847, con diagramas tricolores azuis, vermellos e amarelos, d’«Os elementos» de Euclides, que contén a Proposición 4 coa identidade notable da suma e mais a súa demostración.

Unha primeira aplicación da Proposición 4 d’Os elementos, a expresión alxébrica do cadrado da suma, foi un método para calcular aproximadamente a raíz cadrada dun número, método coñecido como «fórmula de Herón», pois foi o matemático grego Herón de Alexandría (ca. 10–70 d. de C.) quen describiu o dito método por primeira vez na súa obra Metriká.

Dado un número N, cuxa raíz cadrada queremos coñecer, e unha primeira aproximación a1 da dita raíz, facendo uso da expresión alxébrica do cadrado da suma pódese probar a fórmula de Herón, que nos di que unha segunda aproximación da raíz de N será

\displaystyle a_2=\frac{1}{2}\left(a_1+\frac{N}{a_1}\right)

Este proceso é iterativo, pois dada a aproximación a2 da raíz cadrada de N, pode volverse empregar a fórmula de Herón para obter unha nova aproximación a3, e pódese seguir así ata acadar a precisión desexada. Por exemplo, se queremos aproximar o valor da raíz de 2 e comezamos co valor a1 = 1, daquela ao aplicar a fórmula de Herón obtéñense as aproximacións a2 = 3/2 = 1,5, a3 = 17/12 = 1,4166…, a4 = 577/408 = 1,414215…, que é unha boa aproximación á raíz de 2.

Porén, os babilonios (arredor do ano 2000 a. de C.) xa coñecían as identidades notables do cadrado da suma e da resta. A través das tabelas babilónicas atopadas sabemos que as empregaron para resolver algúns problemas de segundo grao, como o problema das áreas (da tabela cuneiforme bm 13901) que cita Vicente Meavilla no seu libro Eso no estaba en mi libro de matemáticas (2012), ou para aproximar a raíz cadrada dun número, método que xa coñecían antes ca Herón de Alexandría.

Pero avancemos un pouco máis. A partir das identidades notables da suma e da resta, pódense demostrar facilmente as seguintes identidades alxébricas:

imagen-5-260x152
Identidades alxébricas para o produto de dous números.

Unha das cuestións que fan interesantes estas identidades alxébricas é que foron empregadas polos babilonios, hai uns catro mil anos, para simplificar as multiplicacións.

Para podermos comprender o motivo polo cal as anteriores identidades, especialmente a primeira, facían as multiplicacións máis sinxelas para os babilonios (aínda que tamén é un método válido para nós, para o noso algoritmo de multiplicación), imos lembrar o sistema de numeración babilónico, comparándoo co que utilizamos na actualidade a fin de facilitar a comprensión da explicación.

O sistema de numeración babilónico (ao menos o que Georges Ifrah chama «sistema babilónico erudito») era un sistema posicional sesaxesimal, é dicir, cuxa base era 60; así que non era moi diferente do noso, que é un sistema de numeración posicional con base 10.

A primeira cuestión que hai que ter en conta é que o noso sistema de numeración, o sistema indoarábigo, é decimal, logo precisamos 10 signos básicos, as dez cifras básicas 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; pola contra, o sistema babilónico era sesaxesimal e precisaban 60 algarismos (durante moito tempo non dispuñan do 0 e deixaban un oco onde tiña de ir ese signo, o cal daba lugar a confusión, aínda que ese é un tema que deixaremos para outra ocasión). Os 59 signos do sistema de numeración babilónico (se excluímos o cero) non eran todos diferentes, coma no noso sistema, senón que a súa notación se baseaba na acumulación de unidades, que eran os cravos verticais, e decenas, que eran espigas, como se ve na seguinte imaxe. Cando comezou a representarse o cero fíxose como un dobre cravo inclinado ou unha dobre espiga, cun tamaño máis pequeno ca o dos demais signos.

imagen-6-640x664
Táboa explicativa da representación dos 59 algarismos básicos do sistema de numeración babilónico.

Ademais o sistema de numeración babilónico erudito (chamado así por Ifrah porque fora introducido polos matemáticos e astrónomos babilónicos) era posicional, coma o noso sistema de numeración decimal.

Así pois, o número que nós representamos como 1859 porque o seu valor é

1\times10^3+8\times10^2+5\times10+9=\\=1\times1000+8\times100+5\times10+9

os babilonios representábano (como se ve na seguinte imaxe) como tres espigas, é dicir, 30, seguidas de cinco espigas e nove cravos, é dicir, 59, pois 1859 = 30 × 60 + 59 (para non termos de debuxar os cravos e as espigas, diremos que é o número [30;59] no sistema babilónico).

imagen-8

A imaxe seguinte amósanos outros dous exemplos que aparecen na tabela (de arxila) anteriormente amentada, a bm 13901 (que se conserva no Museo Británico de Londres e que é un dos textos matemáticos babilónicos máis antigos). Son os números 64 000, representado [17;46;40], e 424 000, representado [1;57;46;40]:

imagen-9-640x162

A continuación, falemos das multiplicacións. Como o sistema de numeración dos babilonios é posicional, coma o noso, repasemos o noso algoritmo de multiplicación e as cuestións que son relevantes nel.

Imos ver a multiplicación dos números 34 725 e 8316 mediante o algoritmo que aprendemos na escola e que empregamos sempre que non temos unha calculadora á man (o que é practicamente imposible na actualidade, xa que todos os nosos móbiles dispón dunha calculadora):

imagen-10-640x496

A base na que se apoia este algoritmo de multiplicación, igualmente a outros algoritmos para sistemas posicionais como o «algoritmo da celosía» que empregaban os árabes, é o coñecemento das táboas de multiplicar do sistema de numeración. Por este motivo, na escola ensínannos desde pequenos as táboas de multiplicar do 1 ao 9 (a do 0 tamén, pero é trivial).

imagen-11-640x602
Táboas de multiplicar para o noso sistema de numeración decimal, agás a do 0, que é trivial.

Consecuentemente, os babilonios, para poderen realizar unha multiplicación co seu algoritmo, precisaban coñecer as táboas de multiplicar dos números entre 1 e 59 (e a do 0 tamén, aínda que é trivial). A táboa de multiplicar de cada un destes números consistía en multiplicar, a priori, o dito número polas 59 cifras básicas, do 1 ao 59. En realidade, cada táboa incluía só a multiplicación polos 20 primeiros números e 30, 40 e 50, o que permitía ao usuario coñecer o resto empregando a propiedade distributiva, é dicir, 25 × 47 = 25 × (7 + 40) = 25 × 7 + 25 × 40. Así a todo, segue sendo moita información. Os babilonios non aprendían as táboas de multiplicar de memoria, senón que as escribían en pequenas tabelas de arxila (as medidas da tabela de arxila da imaxe inferior, coa táboa de multiplicar do 25, son 5,8 cm × 4,5 cm × 2,2 cm), pero precisaban 59 tabelas para poderen multiplicar. E 59 son moitas tabelas.

Por exemplo, a tabela de arxila coa táboa do 25 que mencionabamos consistía nunha columna cos números que multiplicaban o 25, do 1 ao 20, máis 30, 40 e 50, e outra columna cos resultados de multiplicalos por 25:

tabela-babilonica
Esquema e explicación do anverso e reverso da tabela de arxila que contén a táboa de multiplicar do 25, atopada en Susa (Irán), do libro «Historia universal das cifras» de Georges Ifrah.
imagen-13-640x285
Anverso da tabela coa táboa de multiplicar do 25 (Susa, Irán), do século xvii a. de C., e anverso e reverso da tabela um 29-15-503 da Universidade de Pensilvania (University of Pennsylvania) coa táboa do 30.

Como o sistema de numeración babilónico era posicional, os babilonios precisaban as táboas de multiplicar das 60 cifras básicas, se engadimos o 0, para multiplicar. O historiador das matemáticas Georges Ifrah fai unha hipótese do que debeu de ser o ábaco babilónico e como se empregaba para multiplicar. Vexamos un exemplo sinxelo: a multiplicación do número 25 (dunha cifra no sistema babilónico) polo número de dúas cifras [11;32] (é dicir, 11 × 60 + 32 = 692) que ofrece no seu texto Historia universal das cifras.

O ábaco babilónico consistiría nunha tabela de arxila fresca con catro columnas. Na columna da dereita escribiríase o número, ou números, que se van multiplicar. No exemplo escríbese o número que imos multiplicar por 25, o número [11;32]. As outras tres columnas, de dereita a esquerda, indican as unidades, os múltiplos de 60 e os múltiplos de 602 = 3600.

imagen-14-640x268

Para comezar, buscamos na táboa do 25 a multiplicación por 2 (pensando no 32) e colocamos o resultado, 50, na columna das unidades. Despois borramos o 2 e buscamos na táboa de multiplicar a multiplicación de 25 por 30, que é [12;30], e colocamos o resultado na tabela: 12 nas «sesentenas» e 30 nas unidades. Despois borramos o 30.

Agora quédanos, na columna da dereita, o 11, que se corresponde coas «sesentenas» do número polo que estamos a multiplicar. Buscamos na táboa do 25 o produto de 25 por 11, que é [4;35], e poñemos un 4 na columna dos múltiplos de 3600 e 35 nos múltiplos de 60. E borramos o 11.

imagen-15-640x685

En último lugar, só queda reagrupar os cravos e as espigas. Así, borramos seis espigas da columna das unidades, pois teñen un valor de 60, e engadimos un cravo na columna dos múltiplos de 60. O resultado é [4;48;20], é dicir, 4 × 3600 + 48 × 60 + 20 = 17 300.

imagen-16-640x570

Se o pensamos ben, esta multiplicación lémbranos o procedemento para multiplicar horas, minutos e segundos, xa que estas medidas temporais son restos do sistema de numeración babilónico.

A cuestión é que os babilonios precisaban as 59 táboas de multiplicar, con toda a información que iso implica, para poderen realizar unha multiplicación. Porén, decatáronse de que, se empregaban calquera das identidades alxébricas anteriores para o produto de dous números, particularmente a que chamamos «fórmula dos cuartos de cadrados»,

\displaystyle ab=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}=\\[.2cm]=\frac{(a+b)^2}{4}-\frac{(a-b)^2}{4}

a multiplicación transformábase nunha suma (e resta) seguida de elevar ao cadrado, e a división por 4 (facer dúas veces a metade). Deste xeito, non se precisaban todas as táboas de multiplicar, soamente táboas cos cadrados dos números (de feito, os babilonios fixeron tabelas cos cadrados dos números; é o caso dunha tabela atopada en Sankarah en 1854, datada arredor do 2000 a. de C., que recolle os cadrados dos 59 primeiros números). Por exemplo, cos cadrados dos números ata o 118 podían obter toda a información das 59 táboas de multiplicar das súas 59 cifras e, de feito, máis multiplicacións que non estaban contidas nas táboas, como 78 × 31 ou 65 × 53.

imagen-18
Imaxe do libro «The Seven Great Monarchies of the Ancient Eastern World», de G. Rawlinson, que contén un extracto cos cadrados dos números 51 a 60 da tabela de Sankarah.

O que é máis importante: a cantidade de operacións para realizar a multiplicación redúcese deste xeito drasticamente. Na multiplicación posicional hai tantas multiplicacións intermedias coma o produto das cifras dos números (no exemplo da multiplicación decimal serían 20 pequenas multiplicacións) e a isto hai que engadir a suma das «levadas», pero na fórmula dos cuartos de cadrados só hai que sumar, restar, elevar ao cadrado e dividir entre catro. Consecuentemente, a operación multiplicativa realízase con máis rapidez coa fórmula dos cuartos de cadrados e, ao termos menos operacións, evítanse erros intermedios.

Vexamos con algúns exemplos, no noso sistema de numeración decimal, como funciona a fórmula dos cuartos de cadrados.

\displaystyle 7\times8=\frac{15^2-1^2}{4}=\frac{225-1}{4}=56\\[.2cm]30\times17=\frac{47^2-13^2}{4}=\frac{2209-169}{4}=510

Despois dos babilonios, a fórmula dos cuartos de cadrados seguiu empregándose para as multiplicacións. En 1690 Hiob Ludolf publicou unha táboa cos cadrados dos números ata cen mil, aínda que a primeira táboa cos cuartos dos cadrados (o cal simplificaba moitísimo máis a operación, porque nin sequera había que dividir entre 4) foi publicada en 1817 por Antoine Voisin, Táboas de multiplicacións ou logaritmos dos números enteiros desde 1 ata 20 000. Como explica Édouard Lucas nas súas Recreacións matemáticas, Voisin emprega a palabra «logaritmo» co significado de «cuarto de cadrado». E seguíronse publicando táboas de cuartos de cadrados, ata 100 000 por Samuel Laundy en 1856 ou ata 200 000 por Joseph Blater en 1888, entre outros.

imagen-20-640x574
Dobre páxina da táboa dos cuartos de cadrados de Antoine Voisin, entre os números 11 601 e 11 900.

O matemático inglés James Joseph Sylvester (1814–1897) publicou un artigo co título On Multiplication by aid of a Table of Single Entry en 1854, xeneralizando a fórmula de cadrados ao produto de n cantidades mediante a suma de potencias con expoñente n. No limiar afirma, referíndose á formula dos cuartos de cadrados, que «unha táboa dunha soa entrada, suficientemente extensa, servirá para dar o produto de calquera par de números só mediante os procesos de adición e subtracción, coma no caso da computación logarítmica, pero coa vantaxe dunha precisión perfecta no resultado, e de que o número de buscas requiridas para cada operación é de tan só dúas…».

As táboas de cuartos de cadrados seguiron publicándose ata 1920, pero xa non tiñan sentido na era dos ordenadores. Porén, a fórmula dos cuartos de cadrados non desapareceu. A partir da década de 1950 empregouse para os ordenadores analóxicos, e despois publicáronse propostas para os ordeandores dixitais.

imagen-21-1
O ordenador analóxico gte ea-22, fabricado en Alemaña a últimos da década de 1960 e principios de 1970, contaba cun multiplicador dobre, coma o que se amosa na imaxe, que funcionaba empregando a fórmula dos cuartos de cadrados.

Sobre o autor: Raúl Ibáñez Torres (@mtpibtor) é profesor do departamento de Matemáticas da Universidade do País Vasco (Universidad del País Vasco – Euskal Herriko Unibertsitatea) e colaborador da Cátedra de Cultura Científica.

Advertisements

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair / Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair / Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair / Cambiar )

Google+ photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google+. Sair / Cambiar )

Conectando a %s