Multiplicar é doado: dos exipcios aos campesiños rusos

[Esta é unha tradución adaptada do artigo orixinal de 21 de setembro de 2016 Multiplicar no es difícil: de los egipcios a los campesinos rusos, de Raúl Ibáñez Torres, que pode lerse nesta ligazón.]

Cando aprendemos a multiplicar durante o ensino primario, primeiro temos de aprender as táboas de multiplicar do 2 ao 9 (as táboas do 0 e do 1 son triviais) para podérmolas empregar no algoritmo estándar de multiplicación que nos ensinan despois. Este exercicio de memorización demanda un grande esforzo dos cativos e iso dificulta a aprendizaxe e o uso do método usual de multiplicación.

Porén, como comentabamos en Soñan os babilonios con multiplicacións eléctricas?, os babilonios tíñano bastante peor: eles precisaban empregar as táboas de multiplicar do 2 ao 59, xa que o sistema de numeración babilónico era un sistema posicional sesaxesimal, é dicir, con base 60.

imagen-1-1
«Consul, The Educated Monkey» é unha calculadora mecánica para realizar multiplicacións sinxelas dos números do 1 ao 12, inventada por William H. Robertson en 1916 e producida pola compañía Educational Novelty de Dayton (Ohio).

Secasí, a humanidade tamén inventou algúns métodos de multiplicación máis sinxelos para os cales se precisaba tan só saber multiplicar (e dividir) por 2. O primeiro deses métodos é o método de multiplicación exipcio, que ten unha antigüidade de máis de 4000 anos.

Coñecemos este sistema de multiplicación desenvolvido polos exipcios grazas ao papiro de Rhind, que é o documento matemático máis importante que se conserva do Antigo Exipto. Outros textos matemáticos exipcios son os papiros de Moscova, Lahun e Berlín.

O papiro de Rhind, tamén coñecido como papiro de Ahmes, descubriuno o avogado e exiptólogo escocés Alexander Henry Rhind (1833–1863) en 1858, en Luxor (Exipto). O papiro copiouno o amanuense Ahmes arredor de 1650 a. de C., como indica el mesmo no principio da copia, a partir dun texto anterior que se perdeu, da época do faraón Amenemés III (1860–1814 a. de C.). O papiro ten 33 cm de alto e está formado por varias partes que, en conxunto, acadan unha lonxitude de máis de cinco metros. Está redactado en escritura hierática e contén máis de 80 problemas, de tipo práctico a meirande parte, con cuestións aritméticas (multiplicación e división de números enteiros e fraccións, fraccións unitarias ou ecuacións lineais), xeométricas (áreas e volumes) e outras, entre as cales están as progresións aritméticas e xeométricas ou as proporcións.

imagen-2-1-640x480
Fragmento do papiro de Rhind ou de Ahmes, pertencente á sección ea10057, British Museum.

Antes de explicarmos en que consiste o método exipcio de multiplicar, imos lembrar o sistema de numeración que empregaban os exipcios desde 3000 a. de C. aproximadamente, para podermos describir o algoritmo de multiplicación tendo na mente o sistema de numeración no que foi creado.

Cara ao ano 3000 a. de C., case ao mesmo tempo ca os sumerios, os exipcios inventaron un sistema de escritura, incluídos os números, xeroglífica, é dicir, baseada en debuxos sinxelos ou pictogramas. O sistema de numeración exipcio era decimal, ou sexa, en base 10, pero era un sistema aditivo, non coma o noso sistema posicional: isto significa que o 9 se representaba como nove veces 1 ou o 60 como seis veces 10. Como os exipcios representaban números meirandes ca un millón, tiñan pictogramas para 1, 10, 100, 1000, 10 000, 100 000 e 1 000 000, que son os que aparecen na imaxe seguinte. O un representábase cun trazo vertical; o dez, cunha ferradura, un «U» invertido; o cen, cunha corda enrolada, unha especie de espiral; o mil, cunha flor de loto, incluído o seu talo; o 10 000, cun dedo ergueito e algo torcido; o 100 000, cun cágado, e o millón, cun home axeonllado e cos brazos ergueitos que semella que representaba o deus Heh, deus do infinito e da eternidade, sostendo o ceo.

numeros-xeroglificos
Algarismos fundamentais da numeración xeroglífica exipcia, con algunhas das súas variantes, na ilustración do libro «Historia universal das cifras» de Georges Ifrah.

No libro The Crest of the Peacock coméntase que, aínda que apenas se empregaba, tiñan un debuxo para os dez millóns: un sol, seguramente facendo referencia ao deus exipcio Ra.

Para entendermos como escribían os exipcios os números dun xeito acumulativo a partir dos signos fundamentais anteriores, imos empregar un exemplo real. Nunha das inscricións funerarias (véxanse as imaxes seguintes) que atopou o exiptólogo alemán Ludwig Borchardt (1863–1938) na pirámide de Sahuré, segundo faraón da dinastía v arredor de 2480 a. de C., na necrópole de Abusir en Exipto, faise un reconto de máis de 123 440 touros (os últimos pictogramas non se entenden ben, poderían ser unidades ou máis decenas), 223 400 burros, 32 413 cabras e 243 688 ovellas (¿?). Por exemplo, esta última cantidade son dous cágados (200 000), catro dedos (40 000), tres flores de loto (3000), seis cordas enroladas (600), oito ferraduras (80) e oito liñas verticais (8), logo 243 688.

imagen-4-1-640x916
Inscrición funeraria da pirámide de Sahuré, segundo faraón da dinastía v, cara ao 2480 a. de C., na necrópole de Abusir en Exipto.
imagen-5-1-640x462
Detalle da inscrición funeraria co reconto de touros, burros, cabras e ovellas.

O sistema de escritura xeroglífica, incluídos os números, daría paso á escritura hierática (signos cursivos que permitían aos amanuenses escribir máis rapidamente ca tendo de escribir os xeróglifos), que é a escritura empregada no papiro de Rhind. Porén, nesta entrada só falaremos do sistema de escritura xeroglífica na explicación do método de multiplicación dos exipcios.

Como o sistema de numeración exipcio era aditivo, é dicir, funcionaba por acumulación dos algarismos, a suma era un proceso sinxelo que consistía, precisamente, en acumular os signos e reagrupar: cando había dez liñas verticais (1) substituíanse por unha ferradura (10) e o mesmo co resto. Imos ver un exemplo; a suma de 1729 e 696.

imagen-6-1
Suma no sistema de numeración exipcio xeroglífico. Imaxe da «Historia universal das cifras».

Pero vamos xa coa multiplicación. Este método sinxelo para multiplicar inventado polos exipcios, que se basea unicamente nas multiplicacións polo número 2 (duplicacións), pódese observar, por exemplo, no problema 32 do papiro de Ahmes, onde se realiza a multiplicación 12 × 12, ou no problema 79, onde se multiplica 2801 × 7.

O mellor xeito de explicar este método é a través dun exemplo sinxelo. Imos multiplicar 17 por 13. Na seguinte imaxe está a multiplicación coa notación xeroglífica exipcia, á esquerda, e coa notación moderna, á dereita.

imagen-7-1-640x341
Multiplicando 17 por 13 mediante o método de multiplicación exipcio. O pictograma rectangular da esquerda, cunha especie de cornos, significaba «total».

Para comezar, neste algoritmo para a multiplicación vanse escribir dúas columnas de números; na primeira colocamos arriba o número 1 e, na outra, un dos números que imos multiplicar, neste exemplo o 17. Na segunda fila, multiplicamos por 2 os números de arriba, os da primeira fila, é dicir, na primeira columna aparece o 2 e, na segunda, 34, dúas veces 17. Na terceira fila volvemos multiplicar a anterior por 2, obtendo 4 e 68. E, na cuarta, 8 e 136. É dicir, en cada fila multiplicamos por 2 os números da anterior.

Na primeira columna, a que comeza por 1, obtéñense as potencias de dous: 1, 2, 4, 8, e poderiamos seguir con 16, 32, 64, 128, etc. se tivésemos números meirandes. Na outra columna, a que ten arriba o número que imos multiplicar (17), temos o resultado de multiplicar 17 polos números da primeira columna: 17, 34 = 17 × 2, 68 = 17 × 4 e 136 = 17 × 8.

Como queremos multiplicar o 17 polo número 13 e este se pode escribir como suma dalgúns dos números da primeira columna, 13 = 8 + 4 + 1, daquela a multiplicación 17 × 13 será igual á suma dos números da columna dereita que se corresponden con 8, 4 e 1, é dicir, 136 + 68 + 17 = 221. Isto é unha simple consecuencia da propiedade distributiva:

17\times13=17\times(8+4+1)=\\=17\times8+17\times4+17\times1=\\=136+68+17=221

Como podemos observar, este método baséase en dúas cuestións que os exipcios xa coñecían: que calquera número se pode expresar como a suma de distintas potencias de 2 (1 = 20, 2 = 21, 4 = 22, 8 = 23, 16 = 24, 32 = 25, 64 = 26, 128 = 27, etc.) e a propiedade distributiva da suma e do produto, (a + b) × c = a × c + b × c.

Vexamos outro exemplo. Imaxinemos, como podería suxerir o historiador das matemáticas Georges Ifrah, a seguinte situación: un «inspector de contribucións» tiña de contar cantos sacos de cereal se recolleran nunha determinada zona de Exipto se cada un dos 419 campesiños desa zona tiña de pagar un imposto de 23 sacos de cereal.

Para calcular o número total de sacos de cereais que se recadaron polos impostos, o inspector realizaría a multiplicación 419 × 23 do seguinte xeito (na imaxe inferior faremos a multiplicación directamente con cifras modernas). Escribiría dúas columnas de números, a da esquerda co 1 arriba e a da dereita co número multiplicador 23, e multiplicaríanse en cada fila os números da anterior por 2. Na columna da esquerda aparecerían todas as potencias de 2 (neste caso ata 256) e, na columna da dereita, o resultado de multiplicar o 23 polos números da esquerda, as potencias de 2: 2 × 23 = 46, 4 × 23 = 92, 8 × 23 = 184, 16 × 23 = 368, etc. Non esquezamos que estes números iríaos obtendo simplemente por duplicación, ao multiplicar os números anteriores por 2: 23 × 2 = 46, 46 × 2 = 92, 92 × 2 = 184, etc.

O paso seguinte sería marcar (cun guión) os números da columna esquerda (que son as potencias de 2) que se precisan para obter o multiplicando, o número 419. Neste exemplo son 256, 128, 32, 2 e mais 1, pois 419 = 256 + 128 + 32 + 2 + 1.

E, finalmente, sumaríanse os números da columna dereita que se correspondían coas marcas, é dicir, 5888, 2944, 736, 46 e 23, obténdose así que 419 × 23 = 5888 + 2944 + 736 + 46 + 23 = 9637.

imagen-9-1-640x730

Con este método de multiplicar, os exipcios estaban a empregar o xerme do concepto de número binario, que non se introduciría formalmente ata 1679 da man do matemático alemán Gottfried Leibniz (1646–1716). Se na columna esquerda coas potencias de 2 consideramos que hai un cero cando non hai marca e un un cando temos unha marca, daquela obtense a expresión binaria do número multiplicador; nos exemplos anteriores, 13 e 419.

13=8+4+1=2^3+2^2+2^0=\\=1\times2^3+1\times2^2+0\times2^1+1\times2^0=(1101)_2

419=256+128+32+2+1=2^8+2^7+2^5+2^1+2^0=\\=1\times2^8+1\times2^7+0\times2^6+1\times2^5+0\times2^4+0\times2^3+0\times2^2+1\times2^1+1\times2^0=\\=(110100011)_2

Ademais os exipcios desenvolveron un método de división que non era máis ca o recíproco do algoritmo multiplicativo (e tamén aparece no papiro de Rhind). Se queremos realizar a división de 247 entre 13, empregamos o método anterior das columnas para calcularmos «cantas veces está 13 en 247».

De novo, escribimos dúas columnas de números polo método de multiplicarmos por 2 os números que están na fila superior, unha columna co 1 arriba e a outra co divisor, 13 neste exemplo, arriba. A diferenza está en que agora, para sabermos «cantas veces temos o 13 dentro de 247», hai que escribir o dividendo, 247, como suma dos números da columna dereita. Neste caso, 247 = 208 + 26 + 13, pero agora fixámonos nos números correspondentes da outra columna, a da esquerda, 16, 2 e 1, pois 208 = 13 × 16, 26 = 13 × 2 e 13 = 13 × 1, de onde se obtén que a división de 247 entre 13 é 16 + 2 + 1 = 19.

imagen-11-640x613

Este método de división exipcio tamén era válido para divisións non exactas, aínda que para iso había que manexar fraccións: os exipcios eran expertos nelas. Vexamos un exemplo sinxelo para entendermos un pouco como funcionaba a división non enteira.

imagen-12-1-640x811

No libro The Crest of the Peacock menciónase que o método de multiplicación exipcio empregárono, con algunhas variacións, os gregos e seguiu a utilizarse ata a Idade Media en Europa.

O segundo método que imos amosar neste artigo, para o cal se precisa unicamente saber multiplicar (e dividir) por 2, é unha variación do método exipcio coñecida como método de multiplicación dos campesiños rusos. O nome débese a que, segundo algúns textos, aínda se emprega nalgunhas zonas rurais de Rusia. No libro Excursions in Number Theory nárrase como é utilizado en Etiopía, aínda que alí se realiza con coios e buracos no chan; de feito, este método tamén adoita recibir o nome de multiplicación etíope. E teño lido algunha referencia a que tamén podería seguir a empregarse en zonas rurais de Oriente Próximo.

Este método é moi simple tamén. De novo, vexamos como funciona cun exemplo. Primeiro, un bastante sinxelo.

imagen-13-1-640x556

Multipliquemos 643 por 32. Coma no método anterior, vanse escribir dúas columnas de números e cada unha ten arriba un dos números que queremos multiplicar, 643 e 32. Baixo destes números escribiremos, na columna da esquerda, a multiplicación do número anterior por 2, 643 × 2 = 1286, e, na columna da dereita, a división do número anterior por 2, 32 : 2 = 16. É evidente que, se multiplicamos o primeiro número, 643, por 2 e dividimos o segundo número, 32, tamén por 2, o produto dos dous novos números é o mesmo. É dicir, 643 × 32 = 1286 × 16.

Na fila seguinte, a terceira, volveremos multiplicar por 2 na columna esquerda, 1286 × 2 = 2572, e dividir por 2 na dereita, 16 : 2 = 8. E o produto segue inalterado, é dicir, 643 × 32 = 1286 × 16 = 2572 × 8. Continuamos esta dobre operación, multiplicación e división por 2, ata que cheguemos a 1 na columna dereita, e fixámonos no número que a acompaña á esquerda, 20 576, que será o resultado de multiplicarmos 643 por 32.

643\times32=1286\times16=2572\times8=\\=5144\times4=10\,288\times2=\\=20\,576\times1=20\,576

Porén, evidentemente, este método ten un problema: se o número da dereita é impar nalgún dos casos, non se vai poder dividir por 2. O método de multiplicación dos campesiños rusos, ou etíope, explica como facer a operación no caso xeral.

Novamente, empreguemos unha multiplicación concreta para vermos como funciona o método en xeral. Multipliquemos 517 por 43.

imagen-15-1-640x515

Como o 43 non é par, o que se fai é restar un a ese número, 43 − 1 = 42, colocamos un 1 entre parénteses a carón (como se amosa na imaxe de arriba) para sabermos que aí quedou unha unidade sen multiplicar o 517 e dividimos 42 entre 2, escribindo o resultado, 21, abaixo nesa columna. Na esquerda multiplicariamos por 2, obtendo 1034.

Cómpre ter en conta que, ao restarmos 1, o que estamos a facer é quitarlle á multiplicación que estamos a realizar a cantidade de 517, logo ao final teremos de lla engadir.

517 × 43 = 517 × (42 + 1) = 517 × 42 + 517

A continuación temos o 21, que é impar de novo, así que lle restamos 1, indicándoo cun 1 entre parénteses (coma na imaxe), e dividimos 20 entre 2, é dicir, 10. Ao mesmo tempo, na columna dereita volveriamos multiplicar por 2 e escribimos o resultado, 2068. O 10 é par, polo que dividimos entre 2, obtendo 5, e a súa parella da esquerda multiplicámola por 2, 2068 × 2 = 4136. Continuamos así ata acadarmos o 1 na columna da dereita.

Consecuentemente, o produto de 517 por 43 será igual a 16 544, que é o número á esquerda do 1, máis as cantidades que quitamos ao irmos restando 1 na columna da dereita, unha vez 517, unha vez 1034 e unha vez 4136. En total,

517 × 43 = 16 544 + 4136 + 1034 + 517 = 22 231

Vexamos outro exemplo do método de multiplicar dos campesiños rusos que nos permita comprobar que entendemos este sinxelo algoritmo, para o cal soamente precisamos saber multiplicar e dividir por 2, ademais, por suposto, de sabermos sumar.

imagen-18-1-640x501

Para pecharmos o artigo, un par de imaxes de números xeroglíficos exipcios:

imagen-19-1-640x311
Dúas imaxes da cabeza de maza do rei Narmer, que é a cabeza dunha maza cerimonial exipcia do 3000 a. de C., tallada en pedra e atopada en Hieracómpolis (Antigo Exipto). Atópase no Museo Ashmolean de Oxford.
imagen-20-1-640x252
Diagrama da inscrición da cabeza de maza de Narmer, que contén o botín de gando e prisioneiros conseguidos nas expedicións do rei. Touros: catro cágados, 400 000. Cabras: un home axeonllado, 1 000 000; catro cágados, 400 000; dous dedos, 20 000, e dúas flores de loto, 2000; en total, 1 422 000. Prisioneiros: un cágado, 100 000, e dous dedos, 20 000, logo 120 000.

Sobre o autor: Raúl Ibáñez Torres (@mtpibtor) é profesor do departamento de Matemáticas da Universidade do País Vasco (Universidad del País Vasco – Euskal Herriko Unibertsitatea) e colaborador da Cátedra de Cultura Científica.

Advertisements

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair / Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair / Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair / Cambiar )

Google+ photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google+. Sair / Cambiar )

Conectando a %s