Relatividade sen fórmulas (IX): Paradoxo dos xemelgos

[Esta é unha tradución adaptada do artigo orixinal de 13 de xuño de 2007 Relatividad sin fórmulas – Paradoja de los gemelos, de Pedro Gómez-Esteban González, que pode lerse nesta ligazón.]

[O artigo previo da serie é Relatividade sen fórmulas (VIII): Paradoxo do corredor.]

A serie de Relatividade sen fórmulas comezou nesta entrada. Non ten moito sentido que leas este artigo sen leres antes os conceptos básicos da serie: non che serviría de moito.

No artigo anterior falamos dun dos dous paradoxos máis coñecidos da relatividade xeral: o do corredor ou do pau no celeiro. Hoxe imos falar doutro, máis complexo pero máis interesante: o dos xemelgos. Para entendérelo, espero que che quedase clara a entrada sobre a adición de velocidades, pois naquel artigo hai conceptos importantes que aplicaremos aquí.

O paradoxo dos xemelgos

O paradoxo, basicamente, é o seguinte. Supoñamos que hai dous xemelgos idénticos. Un deles decide facer unha viaxe ata o planeta (digamos) Einstenón, que está a 10 anos luz da Terra, e viaxa a unha velocidade moi grande (digamos que ao 87 % da velocidade da luz). Daquela, visto desde a Terra, o tempo do xemelgo viaxeiro transcorre moi lentamente, de xeito que, ao volver, no canto de pasar moitos anos, para el pasaron poucos e é novo, mentres o xemelgo que quedou na Terra é vello.

Pero, desde o sistema de referencia do xemelgo viaxeiro, é o xemelgo que queda na Terra o que se move, de maneira que o tempo pasa máis lentamente para el: é o que queda na Terra o que debería ser novo cando se volven a atopar. Cando se miran á cara, cal é novo e cal é vello? Está moi ben iso de dicir que «en cada sistema de referencia, o outro é novo e eu son vello», pero que pasa?, ambos lle din ao outro «véxote moi novo»?

A explicación relativista

Para explicarmos o que está a pasar realmente, empregaremos, por suposto, a Alberte e mais a Ana no canto de a dous xemelgos descoñecidos. Ana decide facer unha viaxe a Einstenón, que está a 10 anos luz da Terra, ao 87 % da velocidade da luz. De xeito que temos dous observadores. Alberte, que está na Terra e non se move dela, en repouso con relación a todo o demais agás Ana. E Ana, que se move da Terra cara a Einstenón na viaxe de ida e despois dá media volta e volve de Einstenón á Terra.

Alberte e Ana teñen, ambos os dous, reloxos que emiten un raio luminoso cada segundo, para que Alberte poida ver como pasa o tempo de Ana e viceversa.

Vexamos en primeiro lugar o que experimenta Ana. Para ela, a distancia entre Einstenón e a Terra non é de 10 anos luz, senón de 5 anos luz por mor da contracción da lonxitude. De xeito que ela, que se move ao 87 % da velocidade da luz, debe percorrer 5 anos luz de distancia na ida (o que lle leva uns 5,77 anos) e o mesmo de volta (outros 5,77 anos máis ou menos), de modo que a viaxe total dura, para ela, 11,55 anos.

Porén, cando ela mira a Alberte mentres se afasta del, como dixemos no artigo de adición de velocidades, o efecto Doppler relativista fai que os raios do reloxo de Alberte sexan máis lentos (por unha banda, Alberte se move de forma que Ana o ve «a cámara lenta», como dixemos na dilatación do tempo; pola outra banda, os raios de luz deben perseguir a Ana). De feito, como Ana vai a unha velocidade bastante semellante á da luz, os raios do reloxo de Alberte prodúcense cada 3,73 segundos.

Consecuentemente, cando Ana chega a Einstenón, se ben ela experimentou un tempo de viaxe de 5,77 anos, o reloxo de Alberte marcou 3,73 veces menos: uns 1,55 anos. Pero, secasí, cando Ana dá a volta en Einstenón e comeza a moverse cara á Terra, ve os raios de Alberte acelerados, xustamente polo mesmo motivo: agora ela móvese cara á fonte de luz, de xeito que cada raio debe percorrer menos distancia ca o anterior. Agora, os raios de Alberte son 3,73 veces máis rápidos, non máis lentos: prodúcense cada 0,27 segundos. Así pois, durante a viaxe de volta, Ana ve a Alberte «a cámara rápida»: no canto de pasar 5,77 anos, para el pasan 21,55 anos.

Xemelgos 1
O que ve Ana na viaxe de ida, o cambio de sentido e a viaxe de volta.

É dicir, Ana bota a conta e pensa: «o meu reloxo marcou 5,77 anos na ida e outros 5,77 anos na volta, é dicir, para min, a viaxe durou 11,55 anos (arredondando). O reloxo de Alberte marcou 1,55 anos na viaxe de ida e 21,55 anos na de volta, é dicir, para Alberte pasaron 23,10 anos».

Pola outra banda, que ve Alberte? El ve que Ana se afasta del ao 87 % da velocidade da luz e debe percorrer 10 anos luz, de xeito que tarda uns 11,55 anos en chegar a Einstenón. E na viaxe de volta tarda outros 11,55 anos, é dicir, que para Alberte a viaxe dura 23,10 anos.

Pero que observa Alberte que pasa para Ana? Na viaxe de ida, Ana afástase del, así que Alberte a ve «a cámara lenta»: os raios de Ana chéganlle cada 3,73 segundos. Chegamos aquí á chave do paradoxo, así que frea e le isto amodo porque, se o entenderes, entenderás o paradoxo dos xemelgos.

Se ben Ana dá a volta ao chegar a Einstenón (11,55 anos despois de marchar, segundo Alberte), Alberte non ve inmediatamente que os raios de Ana se aceleren. Ana dá a volta e, a partir de entón, os seus raios móvense cara a Alberte e están, efectivamente, «acelerados»… pero isto ocorreu a 10 anos luz de Alberte! El non ve o cambio instantaneamente: só verá o cambio cando chegue a el o primeiro raio enviado cando Ana dá a volta… o que non ocorrerá ata 10 anos despois de que Ana dea a volta. Como está a 10 anos luz, o primeiro raio tarda 10 anos en chegar a Alberte. Todos os demais raios «desacelerados» que aínda non lle chegaron cando Ana dá a volta, aínda teñen de chegar a Alberte antes de que o primeiro raio «acelerado» lle chegue.

Así pois, Alberte non ve o tempo de Ana «desacelerado» durante 11,55 anos, senón durante 21,55 anos (11,55 ata que Ana dá a volta e outros 10 ata que o primeiro raio «acelerado» chega ata el). Nese tempo, como Ana vai «a cámara lenta», para ela non pasarían 21,55 anos senón 3,73 veces menos: soamente uns 5,77 anos. A partir dese momento, Alberte ve a Ana «a cámara rápida»… pero só durante un tempo moi curto. Pensa que, como o primeiro raio «acelerado» chega ata Alberte 10 anos despois de que Ana dea a volta e, neses 10 anos, ela xa estivo viaxando cara a Terra (e a viaxe de volta dura 11,55 anos para Alberte), cando el comeza a vela «acelerada» ela xa está a tan só 1,55 anos da Terra.

Xemelgos 2
O que ve Alberte na viaxe de ida de Ana, o cambio de sentido e a viaxe de volta.

Durante eses 1,55 anos que dura a última parte da viaxe, Alberte ve a Ana mandando raios 3,73 veces máis rapidamente do normal, de maneira que para ela pasan uns 5,77 anos. Así pois, Alberte bota a conta e pensa: «a viaxe de Ana durou en total 11,55 anos de ida e 11,55 anos de volta; en total, para min pasaron 23,10 anos. E, para Ana, durou 5,77 anos “desacelerada” e outros 5,77 anos “acelerada”; en total, para ela pasaron 11,55 anos». Exactamente o mesmo que mediu ela. Todo encaixa!

Para que non queden dúbidas, vou repetir onde está a explicación do paradoxo: Alberte está en repouso con relación aos dous planetas e é Ana quen dá a volta. Ana ve o reloxo de Alberte ir lentamente durante a metade do tempo e rapidamente durante a outra metade, pero Alberte non: para que el comece a ver o reloxo de Ana ir rapidamente, os raios do reloxo no momento no que ela dá a volta deben alcanzalo, e nese momento ela xa percorreu unha parte do camiño de volta, así que, á fin, ningún dos dous ten dúbida de que ela é máis nova ca el.

Espero que o paradoxo non vos semellase unha enleada inintelixible. Non é doado explicalo sen fórmulas e, realmente, lin moi poucas explicacións intuitivas que vaian alén de que «Ana non é un sistema inercial porque dá a volta nun momento determinado». A cuestión está en que a relatividade, realmente, encaixa… soamente cómpre ter en conta todos os «efectos raros» que produce.

No vindeiro artigo, a relatividade na realidade. Non estamos a inventar fórmulas vas, a relatividade existe e xa se comprobou!


Sobre o autor: Pedro Gómez-Esteban González é físico, profesor de Educación Secundaria e autor do blog El Tamiz.

Advertisements

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair / Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair / Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair / Cambiar )

Google+ photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google+. Sair / Cambiar )

Conectando a %s