Teoría de xogos (IV): Pedra, papel ou tesoiras

[Esta é unha tradución autorizada de Ciención de Breogán, adaptada do artigo orixinal de 13 de setembro de 2010 Teoría de juegos IV – Piedra, papel, tijera, de Javier “J” Sedano, que pode lerse en El Cedazo. Toda a serie Teoría de juegos está publicada en forma de libro, dispoñible aquí.]

[O artigo previo da serie é Teoría de xogos (III): A poxa do dólar (II).]

No artigo de hoxe desta serie dedicada á teoría de xogos, imos presentar un xogo moi sinxelo para irmos introducindo algúns conceptos.

Supoño que todos xogamos algunha vez a pedra, papel ou tesoiras. Polo si ou polo non, imos resumir as regras:

  • Xogan dous xogadores. Poden xogar máis, pero iso pode dar lugar a círculos de vitoria e é máis difícil decidir o que facer en caso de empates parciais.
  • Ambos os xogadores sacan a man asemade, cun dos símbolos seguintes:
    • Pedra: o puño cerrado.
    • Papel: a palma estendida.
    • Tesoiras: os dedos índice e maior estendidos e separados (coma unhas tesoiras abertas) e o resto dos dedos cerrados.
  • A vitoria decídese do xeito seguinte:
    • A pedra gana (machuca) ás tesoiras.
    • As tesoiras ganan (cortan) ao papel.
    • O papel gana (envolve) á pedra.
  • Se dous xogadores sacan o mesmo, empatan. Dependendo do obxectivo do xogo, poden volver xogar ou simplemente empataron e xa está (segundo o que queira conseguirse co xogo).

Pedra-Papel-Tesoiras
Esquema de «pedra, papel ou tesoiras». [Tradución. Fonte orixinal: Enzoklop, CC BY-SA 3.0]
A matriz de pagamentos do xogo «pedra, papel ou tesoiras» é a seguinte:

Xogador 1
Pedra Papel Tesoiras
Xogador 2 Pedra 0, 0 +1, −1 −1, +1
Papel −1, +1 0, 0 +1, −1
Tesoiras +1, −1 −1, +1 0, 0

Pero agarda un momento! Iso da «matriz de pagamentos» é un concepto novo.

Matriz de recompensas: é unha matriz N-dimensional (onde N é o número de xogadores), con lonxitude Mn en cada dimensión n (sendo Mn o número de escollas posibles do xogador n). O seu contido é unha N-tupla coa recompensa que recibe cada xogador no caso de que se produza esa combinación de decisións. A miúdo tamén é denominada matriz de pagamentos, forma normal do xogo ou forma estratéxica do xogo.

 

Como a definición é un pouco atrapallada, é mellor velo co exemplo de «pedra, papel ou tesoiras». Nas columnas temos todas as posibles decisións do xogador 1 (X1) e, nas fileiras, as do xogador 2 (X2). Se, por exemplo, X1 escolle pedra e X2 escolle tesoiras, gana X1. Representamos iso como que o Xogador 1 obtén unha recompensa de +1 e o Xogador 2 obtén unha recompensa de −1 (é dicir, unha perda de 1). E así todas as combinacións posibles.

Nun xogo tan sinxelo coma este, decidir os valores da matriz de recompensas é doado, pero, nun xogo máis sofisticado, como unha negociación laboral ou un conflito militar, decidir os valores que hai que pór na matriz pode ser difícil, ou mesmo imposible (por exemplo, poden empregarse estimacións de baixas perante un ataque dun mísil, pero pode ser imposible saber cal será realmente o dano; e iso sen contar os danos «colaterais» como as infraestruturas destruídas ou o medo inflixido). De feito, poida que mesmo as posibles decisións de cada xogador tampouco estean tan claras: frecuentemente en xogos reais (militares, económicos, políticos…) os grandes ganadores son persoas que lle atopan unha decisión nova a un problema vello.

Pero, incluso cando dicimos sinxelo, non estamos a dicir trivial. Por exemplo, por que lles puxemos −1 ás derrotas? Se non perdemos nada, tampouco temos de pór un valor negativo: podemos pór simplemente 0. E, se empatar implica repetir, poderiamos simplificala dicindo que o empate non aparece, porque significa repetir ata que non haxa empate. Daquela teriamos:

Xogador 1
Pedra Papel Tesoiras
Xogador 2 Pedra +1, 0 0, +1
Papel 0, +1 +1, 0
Tesoiras +1, 0 0, +1

Ou tamén poderiamos estar a xogar con cartos. Por exemplo, debemos aportar 10 € para xogar, o ganador queda con todo (20 €) e, se hai empate, queda cos cartos a organización.1 A matriz de pagamentos sería, nese caso:

Xogador 1
Pedra Papel Tesoiras
Xogador 2 Pedra −10, −10 +10, −10 −10, +10
Papel −10, +10 −10, −10 +10, −10
Tesoiras +10, −10 −10, +10 −10, −10

Polo de pronto imos deixar aquí a matriz de recompensas, porque lles dedicaremos moitos outros artigos ás súas propiedades. Analizando a matriz, poderemos achar cousas como a mellor estratexia, a ganancia (ou perda) media esperada… Mesmo veremos que, aínda que o pareza, os tres xogos de arriba non son iguais e que as súas estratexias poden, ou non, ser as mesmas. Agora temos dabondo con sabermos o que é e para que serve.

j_juegos_mixta
«Piedra, papel, tijera… un, dos, tres. Jo’e’, macho, llevamos to’a la mañana así, hijo mío.» [Mahou]

Pedra, papel, tesoiras, lagarto ou Spock

Ao estudarmos as nove combinacións posibles da matriz de «pedra, papel ou tesoiras», vemos que tres delas implican un empate. Un xeito de reducir esta posibilidade de empate é definirmos 5 escollas posibles, cunha matriz de pagamentos coma esta:

Xogador 1
Pedra Papel Tesoiras Lagarto Spock
Xogador 2 Pedra 0, 0 +1, −1 −1, +1 −1, +1 +1, −1
Papel −1, +1 0, 0 +1, −1 +1, −1 −1, +1
Tesoiras +1, −1 −1, +1 0, 0 −1, +1 +1, −1
Lagarto +1, −1 −1, +1 +1, −1 0, 0 −1, +1
Spock −1, +1 +1, −1 −1, +1 +1, −1 0, 0

j_juegos_pptls
Diagrama de «pedra, papel, tesoiras, lagarto ou Spock». [Fonte: Wikipedia, Nojhan]
As regras son as mesmas ca antes, cos engadidos seguintes:

  • A pedra gana (esmaga) ao lagarto.
  • Spock gana (vaporiza) á pedra.
  • O lagarto gana (come) ao papel.
  • O papel gana (desautoriza) a Spock.
  • As tesoiras ganan (escabezan) ao lagarto.
  • Spock gana (rompe) ás tesoiras.
  • O lagarto gana (envelena) a Spock.

Non lle busques a lóxica. Imaxino que Sheldon Cooper, que ten un coeficiente intelectual moito maior ca o noso, xa lla buscou.2

j_juegos_seldon_cooper
Sheldon Cooper… ou Jim Parsons, como prefiras. [Fonte: Wikipedia, Martini]
Agora a probabilidade do empate é moito máis pequena: 1/5.

Podemos rebaixala máis aínda? É o que fan unha chea de xogos. Vexamos, como exemplo, un clásico de Nintendo.

Pokémon

Quen ía dicir que iamos comezar xogando a «pedra, papel ou tesoiras» e rematariamos xogando ao Pokémon HeartGold?

Nos xogos clásicos de Pokémon levamos un equipo de pokémon, que loitan contra outros pokémon que imos atopando polo camiño, sexa ao chou, sexa en encontros planificados polos deseñadores para irmos avanzando pola trama.

j_juegos_pokemon
Captura de pantalla de Pokémon HeartGold. [Nintendo]
Coma en calquera xogo de rol, os pokémon van subindo de nivel, aprenden ataques diferentes con propiedades diferentes, poden equiparse ou empregar obxectos… Pero un dos seus elementos característicos son os tipos de pokémon e de movementos. Deste xeito, se temos por exemplo un Gyarados, que é un pokémon de tipo auga, e o atacan co movemento «ThunderPunch», de tipo eléctrico, faralle moitísimo dano; contrariamente, se o atacan co movemento «Ember», que é de tipo lume, apenas o mancarán.

Non vai aportar nada que poñamos a listaxe de tipos (existen 17 tipos diferentes) nin a súa matriz de fortalezas e debilidades. Pero si é interesante decatarse de que non existe ningún tipo que sexa un ganador absoluto: pokémon que poderían esmagar uns, son moi vulnerables se se enfrontan a outros. Isto é así en tal grao que a aventura está deseñada para que sexa moi difícil pasar o xogo mantendo unicamente os seis pokémon que podes levar, sendo moi habitual que, máis dunha vez, teñas de trocar algúns dos pokémon de alto nivel que levas no equipo «titular» por outros dun tipo máis favorable (pero probablemente cun nivel menor, polo que deberás volver atrás e combater un pouco nos encontros aleatorios para que suban de nivel) para superares un desafío determinado.

Como é natural, esta idea non é exclusiva dos xogos de Pokémon, senón que se aplica no deseño de moitos outros xogos: Magic: The Gathering, case calquera wargame, o xadrez,3 o mus,4 Dungeons & Dragons ou case calquera xogo de rol…

Isto pode formalizarse, e ímolo facer en artigos futuros, pero creo que xa quedou claro cualitativamente. Se este artigo serviu para que teñas en conta isto a vindeira vez que queiras facerte rico deseñando e vendendo un xogo, xa cumpriu o seu labor.


Este artigo e mais a súa tradución están publicados baixo licenza CC BY-NC-ND 2.5 ES.


1. Sorpréndete que a xente queira xogar a algo así? Algunha vez analizaches estadisticamente a lotaría, a quiniela ou case calquera outro xogo de azar?

2. No serial The Big Bang Theory din que esta modificación do xogo inventouna Sheldon Cooper, pero semella que a inventou realmente un tal Sam Kass na década de 1990. Non coñeces The Big Bang Theory? Xa che é hora de buscala!

3. Por exemplo, dous roques solitarios endexamais capturarán un alfil, malia seren dous e que, tradicionalmente, se considere que o roque é máis valioso ca o alfil.

4. A un amigo meu gustáballe dicir: «Queres catro reis? Ben, para ti sempre catro reis e, para min, sempre a xogada que escolla eu. Si?».

Advertisements

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair / Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair / Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair / Cambiar )

Google+ photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google+. Sair / Cambiar )

Conectando a %s