Teoría de xogos (X): Xogo de confianza

[Esta é unha tradución autorizada de Ciención de Breogán, adaptada do artigo orixinal de 1 de novembro de 2010 Teoría de juegos X – Juego de la confianza, de Javier “J” Sedano, que pode lerse en El Cedazo. Toda a serie Teoría de juegos está publicada en forma de libro, dispoñible aquí.]

[O artigo previo da serie é Teoría de xogos (IX): Dous terzos da media (II).]

Cartos

Levamos xa nove artigos na serie e xa introducimos unha morea de conceptos. Presentamos moitos xogos teóricos e asimilámolos a varios casos reais interesantes, como disputas comerciais, guerras, apostas, videoxogos…

Probablemente, ao comezares a serie pensarías que apenas contabamos nada, pero pouco e pouco fomos introducindo máis e máis conceptos… e aínda estamos co básico!

Hoxe imos introducir un novo xogo. Non estou seguro do seu nome, nin de se o ten, así que vou chamalo xogo de confianza, que é como o chama a Wikipedia (aínda que non é exactamente o mesmo que coñecía eu, este é unha xeneralización do da Wikipedia). O nome é un pouco ambiguo, porque hai moitos outros xogos nos que hai que decidir se confiar ou non no opoñente, pero vale.

É semellante, dalgún xeito, ao xogo do cempés que xa vimos, pero ímolo contar nun artigo propio porque ten unha sutil diferenza que cambia radicalmente a estratexia, e vainos servir para introducirmos un concepto novo e asocialo no vindeiro artigo a un caso real. Estiven a piques de incluílo no artigo do cempés, pero pareceume que estaba a quedar moi longo e que poderiamos beneficiarnos dos conceptos introducidos entremedias. Se non tes fresco o artigo do cempés, bótalle unha ollada, porque o necesitaremos.

Temos dous xogadores, Ana e mais Alberte, que comezan con 100 € cada un. Xogan secuencialmente, primeiro Ana e logo Alberte, logo Ana outra vez, Alberte, Ana, Alberte… En cada quenda, ao que lle toque debe decidir cantos cartos lle dá ao outro (mesmo pode decidir darlle 0 €).

A graza do xogo está en que, nesa transacción, a cantidade de diñeiro transferido duplícase polo camiño. Así, por exemplo, se Ana lle dá a Alberte 30 € na primeira quenda, ao comezar a segunda quenda Ana terá 70 € e Alberte 160 €. Logo Alberte pásalle a Ana 100 €, de xeito que Ana acaba con 270 € e Alberte con 60 €.

E así sucesivamente ata o infinito.

Cal é a mellor estratexia? A mellor estratexia é darlle ao outro sempre todos os teus cartos.

Na primeira quenda, Ana dálle 100 € a Alberte (e convértense en 200 €). Na segunda, Alberte dálle os 300 € (100 que xa tiña e 200 que acaba de recibir) a Ana (e convértense en 600 €). Na terceira, Ana dálle os 600 € a Alberte (e convértense en 1200 €). E así sucesivamente ata o infinito.

Intuitivamente é doado ver que esa é a mellor estratexia, pero esta vez, ao ser o xogo infinito, non podemos atopala por indución. Empregaremos de momento a intuición e xa o formalizaremos máis adiante. Imos tentar dar unhas pinceladas sobre esa intuición para que, polo menos, teñades vós tamén esa idea.

Imos, logo, explicar a intuición por indución… pero é unha indución un pouco especial, porque non acaba nunca. A ver se me dou explicado.

Ímolo levar aos extremos para convertelo nun problema de todo ou nada: na primeira quenda, Ana pode darlle a Alberte os 100 € ou non darlle nada. Como sabemos cal é a mellor decisión? Depende do que escolla Alberte na quenda 2. Se Alberte escolle pasarlle de volta os 300 €, daquela o mellor para Ana é entregar os 100 €. Pero, se Alberte escolle pasarlle 0 €, entón o mellor para Ana é non entregar nada. E como sabemos cal é a mellor escolla para Alberte (supondo que é racional e que tomará a mellor)? Pois depende do que escolla Ana na quenda 3. E así sucesivamente.

Así pois, temos dous camiños posibles: ou ningún dos dous pasa nunca nada, ou ambos os xogadores pasan sempre todo. No primeiro dos casos (ningún pasa nunca nada), ambos os xogadores quedan con 100 € cada un. No segundo dos casos (ambos pasan sempre todo), a cantidade medra indefinidamente ata o infinito.

Estamos a aplicar unha estratexia de esperanza máxima (esperanza no senso matemático: media).

Ollo: o xogo debe ser infinito. Se o xogo non é infinito, daquela estariamos practicamente ante o xogo do cempés e a mellor estratexia xa non é pasar todo o montón.

Xogo finito ou infinito

Xogo finito: é un xogo que ten un final determinado.
Xogo infinito: é un xogo que segue indefinidamente.
Xogo potencialmente infinito: algúns autores diferencian este outro tipo: un xogo que ten un final definido, pero que pode seguir activo para sempre dependendo das decisións dos xogadores.

 

Como exemplo de xogo finito temos o do cempés.

Como exemplo de xogo infinito temos este xogo de confianza.

Como exemplo de xogo potencialmente infinito temos o da poxa do dólar: se os xogadores seguen poxando, o xogo non acaba nunca. Lembremos mesmo que nas normas puxemos algo como «o xogo rematará cando a min me dea a gana». Moitos autores nin sequera consideran que este tipo de xogo exista, e realmente case sempre poden simplificarse a un problema equivalente dos outros dous tipos (finito ou infinito), dependendo do que queiramos estudar. Pero deixo aí o parágrafo, polo si ou polo non.

Nos xogos finitos defínese o ganador segundo as recompensas que recibe. Existen algoritmos formais para atopar a solución óptima nestes casos. (Óptima con relación a que? Depende. Por iso dicimos que «existen algoritmos» e non que «existe un algoritmo».) Xa os formalizaremos un pouco máis adiante na serie. Só un pouco, non nos imos poñer a dar unha morea de fórmulas.

Nos xogos infinitos, pola contra, é moi difícil definir un ganador (ou mesmo imposible). No canto diso, adóitase dicir que unha estratexia é ganadora, aínda que na miña opinión iso non é máis que retorcer a linguaxe. O que si é obvio é que nos xogos infinitos pode ser difícil definir «ganar», e mesmo podemos atopar situacións nas que non poderemos definir un ganador de xeito ningún (dun modo semellante ao paradoxo da lámpada de Thomson). Se ben non existen algoritmos para dar unha solución óptima, tamén existen xeitos de axudarnos a escoller unha estratexia (como, por exemplo, o que se chama equilibrio de Nash). Verémolos tamén máis adiante na serie.

Velaquí un exemplo: o noso xogo de confianza. Non podemos dicir que Ana ganase porque ten moitos cartos… porque non os ten. Na quenda seguinte darallo todo a Alberte. Pero tampouco podemos dicir que Alberte ganase, porque non ten moitos cartos… darallos a Ana na quenda seguinte. Logo quen ganou? Pois ambos os dous, a sociedade… que sei eu. Paradoxos do infinito.

Cal dos dous tipos é máis interesante? Pois depende. Por exemplo, a Wikipedia di, equivocadamente na miña opinión, que «os xogos estudados polos economistas e os xogos do mundo real finalizan xeralmente tras un número finito de movementos». Digo que me parece equivocado porque iso deixa fóra do estudo dos economistas os xogos que inflúen nos mercados, a inflación… Para os biólogos, iso deixaría fóra de estudo a evolución. Para os militares, unha vez ganada a batalla, xa está ganada a guerra? Unha vez ganada a guerra, disolvemos o exército?

O Universo dura infinitamente,1 así que precisamente os xogos reais con aplicacións alén do lecer son infinitos. Outra cousa distinta, e iso si é certo, é que a miúdo se collen xogos infinitos e se simplifican a xogos finitos para poder estudalos, porque estudar un xogo infinito pode ser imposible (veremos máis adiante na serie que hai algoritmos para atopar a mellor estratexia e cousas así). Pero coidado ao facer esta simplificación, porque, como todas, pode ser perigosa. Considerar que un xogo é infinito cando non o é (ou viceversa) pode cambiar a escolla da estratexia, como veremos no vindeiro artigo cun exemplo real simplificado.

Por exemplo, unha das críticas máis fortes á lei da oferta e da demanda (da que se deriva o liberalismo económico) é que non ten en conta o tempo e que, se tarda un tempo infinito en autorregularse, entón non serve para ningún efecto práctico. No sentido contrario, tamén se critica a Keynes que as políticas fiscais e monetarias que propón poden ser malas no longo prazo (no infinito), ao que el respondía: «no longo prazo, estaremos todos mortos».

Comercio

Este xogo pode asimilarse ao comercio. Pero, cando eu che merco algo e che dou a cambio 10 €, estouche dando 10 €, non 20 €. Logo por que o asociamos ao comercio? Porque os obxectos teñen valores distintos para o comprador e o vendedor. Supoñamos que Ana e Alberte son respectivamente un comprador e un vendedor (de coitelos, por exemplo).

Ana dálle a Alberte 10 € e Alberte dálle a Ana un coitelo.

A graza é que, para Alberte, ese coitelo valía 5 € (fabricouno el), pero para Ana ese coitelo vale 10 € (se non, non pagaría 10 € por el). Así que inicialmente había 15 € en valor total, pero ao rematar a transacción hai 20 €.

Isto podemos repetilo: Alberte ten 10 € e Mario ten un xersei. Alberte dálle 10 € a Mario e Mario dálle o xersei a Alberte.

De novo, a graza está en que, para Mario, o xersei non valía 10 €, senón 4 €. Así, antes da transacción tiñamos 19 € (10 € de Ana, 5 € en que valoraba Alberte o seu coitelo e 4 € en que valoraba Mario o seu xersei), pero ao rematar temos 30 € (10 € que ten Mario, 10 € en que valora Ana o seu novo coitelo e 10 € en que valora Alberte o seu novo xersei).

E así tantas veces como queiramos.

Por isto a todo o mundo interésalle que haxa comercio, que os bens se movan cara a aqueles que os precisan desde aqueles que os producen. Cando o comercio se interrompe (ou simplemente se frea), ese incremento de valor non se dá. E, ademais, o efecto é exponencial.

De feito, se lles botamos unha ollada aos medios de comunicación, veremos que a miúdo din que os mercados sofren unha crise de confianza… case coma o nome do noso xogo.

[O seguinte artigo da serie é Teoría de xogos (XI): O problema das pensións.]


Este artigo e mais a súa tradución están publicados baixo licenza CC BY-NC-ND 2.5 ES.


1. Ou non tal, quen sabe? Pero ao menos dura o suficiente como para que nos pareza infinito a todos os efectos prácticos.

Advertisements

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair /  Cambiar )

Google photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google. Sair /  Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair /  Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair /  Cambiar )

Conectando a %s