Os ósos de Napier, a multiplicación árabe e mais ti

[Esta é unha tradución adaptada do artigo orixinal de 5 de outubro de 2016 Los huesos de Napier, la multiplicación árabe y tú, de Raúl Ibáñez Torres, que pode lerse no Cuaderno de Cultura Científica da upv/ehu.]

Neste paseo que comezamos nas dúas entradas anteriores desta «saga» sobre diferentes métodos de multiplicación que se desenvolveron ao longo da historia da humanidade, e que nos levou dos algoritmos que empregaron os babilonios e os exipcios ata os métodos de multiplicar que continuaron a usar os campesiños rusos ata recentemente, agora chegou o momento de falarmos da denominada multiplicación por celosía, ou multiplicación árabe, e da súa relación co noso algoritmo de multiplicación moderno.

Quen non puido ler os artigos anteriores pode facelo aquí:

  1. Soñan os babilonios con multiplicacións eléctricas?
  2. Multiplicar é doado: dos exipcios aos campesiños rusos

Pero iniciemos esta nova xornada do paseo na sala 28 (dedicada á Idade Moderna) do Museo Arqueolóxico Nacional (Museo Arqueológico Nacional) de Madrid. Esta sala contén o chamado ábaco neperiano, que consiste, como se ve na imaxe de abaixo, nun pequeno moble de madeira con incrustacións de óso con trinta caixóns no seu interior. Neles gárdanse as fichas dos dous ábacos que deseñou o matemático escocés John Napier (1550–1617), cuxo nome latinizado é Ioannes Neper e que foi o matemático que inventou os logaritmos. Un destes ábacos é coñecido como os ósos de Napier e del falaremos neste artigo; o outro, de tarxetas, chámase promptuarium (este é o único exemplo coñecido deste tipo de ábaco). Sobre este último, podes ler un artigo de Ángel Requena con máis información.1

imagen-1
Estoxo de madeira que contén os dous ábacos que deseñou John Napier. O seu interior consta de 30 caixóns, os de arriba conteñen as 60 fichas do ábaco «ósos de Napier» e os de abaixo as 300 fichas do «promptuarium». Foto de Raúl Fernández para o Museo Arqueolóxico Nacional.

Estes dous ábacos describiunos John Napier na súa obra Rabdologiæ, seu numerationis per virgulas, libri duo: Cum appendice de expeditissimo multiplicationis promptuario, quibus accessit & arithmeticæ localis liber unus («Rabdoloxía, ou o cálculo con varas, en dous libros: Cun apéndice sobre o útil promptuarium e mais un libro de aritmética local», 1617).

imagen-2-640x365
Portada e dúas páxinas interiores do texto «Rabdologiæ» (1617) de John Napier.

Os ósos de Napier, coñecidos tamén como varas de Napier, desenvolveunos o inventor dos logaritmos para realizar multiplicacións, divisións e raíces cadradas. Os ósos de Napier consistían nunha versión individualizada e particular das táboas de multiplicar. Cada vara contiña a táboa de multiplicar dunha das dez cifras básicas do noso sistema de numeración decimal, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, onde o resultado de cada multiplicación individual se escribía nun cadrado cunha diagonal que separaba a parte das decenas, por riba, da parte das unidades, por baixo (como se pode ver na imaxe inferior). Así, a vara do 7 comeza co 7 (que é 7 × 1); despois 14 (que é 7 × 2), co 1 enriba da diagonal e o 4 debaixo; a continuación, 21 (7 × 3), co 2 enriba da diagonal e o 1 debaixo, e así ata 7 × 9, que é 63.

imagen-3
Versión moderna, de madeira, das dez varas de Napier, que conteñen as táboas de multiplicar.

En realidade, os ósos de Napier (que deben o seu nome ao material co cal foron fabricados) eran dez prismas cadrados nos que se empregaban as catro caras do prisma. Cada cara tiña os múltiplos dunha cifra básica, é dicir, a táboa de multiplicar dese número, de xeito que en caras opostas estaban os múltiplos de dous números cuxa suma fose 9, por exemplo 3 e 6. Desta forma dispúñase de varias caras cos múltiplos dun mesmo número, o que era necesario para as diferentes operacións aritméticas. Por exemplo, para multiplicar 355 × 7 cumprían dúas varas coa táboa do 5.

imagen-4-640x424
Detalle dos ósos de Napier, prismas cadrados de almafí, do moble denominado «ábaco neperiano» que se conserva no Museo Arqueolóxico Nacional.

Pero vexamos como se multiplicaba coa axuda das varas de Napier. Para comezar, imos ver unha multiplicación sinxela, na cal un dos números, o multiplicador, é dunha soa cifra; por exemplo, 673 × 5. Disponse, como se amosa na imaxe seguinte, as varas das cifras do número que multiplicamos, o multiplicando, na orde en que aparecen neste: 6, 7 e 3, postas a continuación dunha vara fixa cos números do 1 ao 9. Como imos multiplicar o número 673 por 5, consideramos a fila correspondente ao número 5, como se amosa na imaxe, é dicir, 3/0, 3/5 e 1/5. Para obter o resultado da multiplicación, comézase pola dereita e vanse sumando en diagonal os números que aparecen na fila do 5. Así obtense o resultado: 673 × 5 = 3365.

imagen-5-640x568

No exemplo seguinte consideraremos números de máis dunha cifra. Vexamos como se fai a multiplicación cos ósos de Napier dos números 4392 e 175. Coma no exemplo anterior, disponse as varas das cifras do multiplicando, 4392, na orde na que aparecen no número (como se amosa na imaxe máis abaixo). Despois fixámonos nas filas das cifras do multiplicador, 1, 7 e 5, que deben «considerarse» na orde na que aparecen no número 175. Finalmente, comezando pola dereita, súmanse os números de cada unha das diagonais que aparecen (entendendo que, na fila do 1, aínda que só aparezan os números, sería coma un cero arriba e a cifra abaixo; neste caso, 0/4, 0/3, 0/9 e 0/2). En cada paso quedamos coa cifra das unidades e sumamos á seguinte diagonal a cifra das decenas (a «levada»).

Vexamos como se obtén o resultado. Na primeira diagonal, que nos dará as unidades do resultado, soamente temos un cero, logo 0 é a cifra das unidades. A seguinte diagonal daranos a cifra das decenas; como a suma é 4 + 1 + 5 = 10, a cifra para as decenas é 0 e levamos o 1 á seguinte diagonal. A suma da terceira diagonal coa levada é 2 + 1 + 3 + 4 + 5 [+ 1] = 16, logo o 6 está na posición das centenas e levamos o 1 para a seguinte diagonal. E así ata a fin. Consecuentemente, obtense que 4392 × 175 = 768 600.

imagen-6-640x406

A técnica de multiplicar das varas de Napier empregouse para desenvolver algúns mecanismos de cálculo. Por exemplo, o médico e escritor Pierre Petit (1617–1687) tomou as varas de Napier e deseñou un cilindro aritmético, o tambor de Petit, con faixas de papel, que contiñan os múltiplos das varas de Napier, pegadas sobre o cilindro.

Tambor de Petit, cilindro aritmético baseado nos ósos de Napier.

Un exemplo máis avanzado é o «reloxo calculador», desenvolvido polo matemático alemán Wilhelm Schickard (1592–1635) en 1623. Como se explica en castelán e éuscaro na páxina do Museo da Ciencia da Universidade Pública de Navarra (Universidad Pública de Navarra – Nafarroako Unibertsitate Publikoa), «componse de dous mecanismos diferenciados: un ábaco de Napier de forma cilíndrica na parte superior e un mecanismo na inferior do tipo dunha pascalina para realizar as sumas parciais dos resultados obtidos co aparello da parte superior. Deste xeito, pódense efectuar as catro operacións aritméticas fundamentais de maneira manual e mecánica». Lembremos que a «pascalina» é a primeira calculadora mecánica (funcionaba con rodas e engrenaxes), deseñada en 1642 polo matemático francés Blaise Pascal (1623–1662).

Calculadora Schickard ou «reloxo calculador», do Museo da Ciencia da Universidade Pública de Navarra.

Verbo doutros mecanismos de cálculo que empregaron os ósos de Napier pódese ler no volume 3 das Récréations mathématiques de Édouard Lucas.

O sistema de multiplicación dos ósos de Napier baséase na multiplicación árabe, tamén chamada multiplicación por celosía. Este nome débese a que a cuadrícula, con diagonais, sobre a que se realiza a multiplicación lembra os enreixados de madeira, ferro ou outro material que permitían ver sen ser vistos.

Como podemos ler no excelente libro Historia universal das cifras (2002), de Georges Ifrah, este é un procedemento que inventaron os árabes arredor do século xiii e que posteriormente foi transmitido a Europa, China ou India. Este algoritmo foi descrito por primeira vez, polo que sabemos, no texto Talkhis a’mal al hisab («Exposición sumaria das operacións aritméticas», 1299) do matemático marroquí Ibn al-Banna al-Marrakusha al-Azdi (1256–1321). Un comentario deste libro débese ao matemático árabe do Reino de Granada Al-Qalasadi (1412–1486). Entre as obras orixinais de aritmética de Al-Qalasadi atópase o seu libro Hadha al-kitab kashf al-asrar fi’ilm al-ghubar («Revelación dos segredos da ciencia aritmética», 1486), que é unha simplificación dunha obra anterior máis completa, no cal describe o método de multiplicar que os árabes chamaban «multiplicación en cadro».

Páxina do libro «Hadha al-kitab kashf al-asrar fi’ilm al-ghubar» («Revelación dos segredos da ciencia aritmética», 1486), do matemático Al-Qalasadi, que contén dúas multiplicacións «en cadro», arriba 64 por 3 e abaixo 534 por 342. [Imaxe da Hathi Trust Digital Library]
Expliquemos o método de multiplicación empregado polos árabes mediante un exemplo sinxelo, 934 × 314. As diagonais da multiplicación poden tomarse en ambos os sentidos, pero comezaremos a explicación deste algoritmo considerando o mesmo sentido ca no texto árabe de Al-Qalasadi.

Como imos realizar a multiplicación de dous números de 3 cifras, realízase unha cuadrícula 3 × 3 na que se debuxan as diagonais que van desde arriba á esquerda cara abaixo á dereita. Escríbense os dous números que se van multiplicar: o multiplicando, 934, arriba (de esquerda a dereita) e o multiplicador, 314, no lado dereito (escrito de abaixo cara arriba), como se amosa na imaxe.

Entón comézase a multiplicación. En cada cadro da cuadrícula 3 × 3 escríbese o produto das cifras que determinan ese cadro, coma no xogo dos barcos, coa cifra das decenas debaixo da diagonal e a cifra das unidades enriba. Por exemplo, no cadro de arriba á esquerda, que se corresponde co produto de 9 por 4, que é 36, colocarase «3\6». E así co resto, como se amosa na imaxe.

En derradeiro lugar, dun xeito semellante ao xa visto para os ósos de Napier pero coas diagonais no sentido oposto, vanse sumando as diagonais dos números desde a dereita-arriba cara á esquerda-abaixo. A primeira diagonal, que nos dá as unidades, soamente consta dun número: o 6, que será a cifra das unidades. A seguinte diagonal daranos as decenas e a súa suma é 2 + 1 + 4 = 7. A terceira diagonal suma 6 + 1 + 3 + 0 + 2 = 12, polo que a cifra das centenas é 2, e o 1 súmase á seguinte diagonal (é o que «levamos»), á dos millares. E continúase así co resto. Estes resultados, 6, 7, 2, etc., que fomos obtendo vanse escribindo preto do final da diagonal correspondente, como se amosa na imaxe. O resultado do produto será o número formado por estas cifras que fomos obtendo, lidas da esquerda á dereita e de abaixo cara arriba, 293 276.

Na imaxe anterior escribimos todos os elementos do proceso para que quede máis claro; porén, o único que escribiría sobre a cuadrícula 3 × 3 unha persoa que tivese de realizar a multiplicación 934 × 314 é o seguinte:

Se ben nos textos árabes adoitan escribirse as sumas das diagonais nun segmento inclinado no vértice superior esquerdo da cuadrícula 3 × 3, como se amosa na seguinte imaxe.

Outra disposición para este método de multiplicar é considerar as diagonais ascendentes no canto de descendentes, de xeito que, no resultado do produto de dúas cifras na cuadrícula de 3 × 3, colócase a cifra das decenas enriba da diagonal do cadro e a das unidades debaixo, e os números que se van multiplicar colócanse, o multiplicando arriba (da esquerda á dereita) coma antes, pero o multiplicador, que vai á dereita, de arriba cara abaixo, como se amosa na imaxe seguinte. Precisamente é esta disposición a que herdaron os ósos de Napier.

Como xa comentamos, este método de multiplicación foi desenvolvido polos árabes arredor do século xiii. Eles transmitírono á parte occidental de Europa, onde recibiu o nome de multiplicación por celosía. En Europa describiuse este método, amais dalgunhas variantes do mesmo, nun tratado anónimo sobre aritmética publicado en Treviso en 1478, Larte de labbacho («A arte do ábaco», tamén coñecido como Aritmética de Treviso). Tamén se describe na obra Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita (1494) do matemático italiano Luca Pacioli (ca. 1445–1517). Secasí, como podemos ler no libro A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip (1999), a primeira referencia escrita sería un tratado inglés, escrito en latín arredor do ano 1300, Tractatus de minutis philosophicis et vulgaribus, no cal aparece a multiplicación de 4 569 202 por 502 403.

Multiplicación de 4 569 202 por 502 403 mediante o método por celosía, que aparece no texto «Tractatus de minutis philosophicis et vulgaribus» (ca. 1300) que se atopa na Bodleian Library de Oxford.
Páxinas da «Aritmética de Treviso» (1478) con diferentes variantes da multiplicación por celosía ou multiplicación árabe.

Este método tamén chegou á China. Segundo o libro A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip, aparece por primeira vez explicado no texto Jiuzhang suanfa bilei daquan («Suma dos métodos de cálculo dos Nove capítulos que consisten en problemas resoltos por analoxía con problemas tipo», 1540), de Wu Jing.

Porén, aínda que este algoritmo de multiplicación adoita coñecerse como multiplicación hindú, o certo é que non hai constancia do seu uso na India ata mediados do século xvii, cando aparece explicado no comentario Ganitamanjari (1658) do matemático indio Ganesha sobre o libro Lilavati (1150) do matemático indio Bhaskara II.

Volvendo á imaxe das páxinas da Aritmética de Treviso (1478), atópase na mesma imaxe unha variación da multiplicación por celosía na cal, no canto de escribir todos os detalles do procedemento da multiplicación árabe, limítase a escribir en cada cadro da cuadrícula unicamente as unidades das multiplicacións intermedias, polo que a persoa que realiza a operación debe ter coidado coas decenas que agora non se escriben pero que seguen engadíndoselle ao resultado do seguinte cadro (á esquerda), as «levadas». Isto último correspóndese, no método de multiplicación árabe, a engadir a «levada» á seguinte diagonal.

Seguidamente, amosamos en diferentes etapas o exemplo da multiplicación de 934 × 314 mediante este método (as diagonais que se pintan na seguinte imaxe pertencen á explicación, pero non aparecían no desenvolvemento da multiplicación).

Esta versión tería a súa variante coas diagonais no sentido contrario e co multiplicador escrito no lateral, agora de arriba cara abaixo.

E a derradeira variante, que tamén aparece en Larte de labbacho (1478) e que comezaría a empregarse a últimos do século xv, simplifica as anteriores. Para comezar, trázase unha liña horizontal e sobre ela o multiplicando; despois, escríbese o multiplicador debaixo á dereita e escrito de abaixo cara arriba (coma no algoritmo árabe ou a variante descrita na imaxe anterior), pero coas súas cifras seguindo unha liña inclinada á dereita. O proceso é semellante ao anterior, como vemos na imaxe.

Este método, fóra do feito de que nós colocamos o segundo número debaixo do primeiro, é exactamente o algoritmo que empregamos para multiplicar. Consecuentemente, o noso método de multiplicación, o que empregamos ti e mais eu, o que nos ensinaron na escola, é unha variación da multiplicación árabe que se desenvolveu a últimos do século xv.

«The end of simple multiplication» é un exemplo de multiplicación moderna pertencente a un libro de exercicios para estudantes de 1814.

Sobre o autor: Raúl Ibáñez Torres (@mtpibtor) é profesor do departamento de Matemáticas da Universidade do País Vasco (Universidad del País Vasco – Euskal Herriko Unibertsitatea) e colaborador da Cátedra de Cultura Científica.


1. Requena Fraile, Á.: «Una joya de la corona: el ábaco neperiano» [en liña], profes.net, 2001 [consulta: 14 de xuño de 2018].

Advertisements

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair /  Cambiar )

Google photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google. Sair /  Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair /  Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair /  Cambiar )

Conectando a %s