O disputado voto do señor Condorcet (I)

[Esta é unha tradución adaptada do artigo orixinal de 15 de novembro de 2017 El disputado voto del señor Condorcet (I), de Raúl Ibáñez Torres, que pode lerse nesta ligazón.]

Na nosa sociedade hai innumerables ocasións nas que un colectivo de persoas debe tomar decisións sobre diferentes alternativas que se lle presentan, como quen debe ser a persoa que preside unha nación ou o candidato ou candidata dun partido político, onde se celebrarán os seguintes Xogos Olímpicos, cal foi o mellor filme ou libro do ano, que empresa debe contratar unha comunidade de veciños para arranxar a fachada da súa casa ou que política debe seguir un determinado goberno, partido político ou empresa, e moitas outras cuestións semellantes.

Perante esta situación aparece a cuestión transcendental de como elixir a proposta que represente mellor as preferencias dos individuos do colectivo, é dicir, como converter as preferencias individuais nunha preferencia colectiva do mellor xeito posible.

El disputado voto del señor Cayo
Portada do libro «El disputado voto del señor Cayo» (Destino, 1978), do escritor Miguel Delibes, e cartel do filme homónimo de 1986 do director Antonio Giménez-Rico.

Aínda que poida semellar o contrario, pois as votacións son algo habitual na nosa vida cotiá, a cuestión non é precisamente sinxela. Para ilustrar isto imos amosar dous exemplos clásicos interesantes.

O primeiro é o paradoxo de Condorcet.

Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marqués de Condorcet (1743-1794), foi un filósofo, matemático e político francés que tivo un rol relevante durante a Revolución Francesa.

Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marqués de Condorcet (1743-1794).

Supoñamos que se está a decidir cal das tres cidades, Bilbao, Donostia e Gasteiz, vai ser a capital do País Vasco, e noméase unha comisión de expertos internacional, formada por doce persoas, para tal fin.

Tras un tempo de estudo do problema e as conseguintes deliberacións, chega a votación, obténdose un empate entre as tres candidaturas con catro votos cada unha. Ante esta situación, pídeselles aos expertos que indiquen a súa orde de preferencia entre as tres cidades, obténdose as seguintes preferencias:

Condorcet 1

O alcalde de Bilbao, que está na reunión como representante da capital de Biscaia, toma a palabra e di o seguinte:

Se comparamos soamente as cidades de Bilbao e Donostia, observaremos que 8 dos 12 expertos prefiren Bilbao a Donostia. Por outra banda, se comparamos agora Donostia e Gasteiz, observaremos que, de novo, 8 dos 12 expertos prefiren Donostia a Gasteiz. En conclusión, os expertos prefiren Bilbao a Donostia e Donostia a Gasteiz; consecuentemente, a cidade preferida é Bilbao, que debería ser a capital do País Vasco.

Pero entón o alcalde de Gasteiz, que tamén está presente na reunión, manifesta o seguinte:

Querido alcalde de Bilbao: quizais antes de tomar unha decisión debamos ter en conta tamén a comparación entre Bilbao e Gasteiz, e veremos que a meirande parte dos expertos, novamente 8 de 12, prefire Gasteiz a Bilbao. En consecuencia, o seu razoamento queda así anulado.

Como podemos ver neste exemplo, produciuse unha preferencia cíclica: ao comparar as candidaturas dúas a dúas, os máis dos expertos prefiren Bilbao a Donostia, Donostia a Gasteiz e Gasteiz a Bilbao, polo que non podemos determinar cal é a cidade preferida polos expertos e, polo tanto, a capital do País Vasco. Isto é o que se coñece co nome de paradoxo de Condorcet.

Pero vamos cun segundo exemplo, aínda máis esclarecedor. Imaxinemos que hai que escoller a sede dos vindeiros Xogos Olímpicos e que as cidades candidatas a ser a sede dos mesmos son Barcelona (bcn), Xohanesburgo (jnb), Os Ánxeles (lax), Sydney (syd) e mais Toquio (tyo).

O coi (Comité Olímpico Internacional), que é o «organismo encargado de promover o olimpismo no mundo e coordinar as actividades do Movemento Olímpico», é tamén quen se encarga da escolla das sedes dos Xogos Olímpicos.

Supoñamos que o número de compromisarios do coi que poden participar na votación para a escolla da sede das olimpíadas é 55 (aínda que realmente son arredor de cen) e que, para coñecer mellor a opinión persoal de cada compromisario con relación ao problema da elección da sede dos Xogos Olímpicos, esta vez pídeselles que ordenen as cidades candidatas consonte as súas preferencias: primeiro a cidade que pensan que debería ser a sede, despois a súa segunda opción, despois a terceira, a cuarta e, finalmente, a derradeira opción. E imaxinemos que o resultado das votacións foi o seguinte:

Condorcet 2

Por exemplo, 18 dos compromisarios ordenaron as cidades da seguinte maneira: Barcelona é a súa opción preferida, a súa segunda opción é Xohanesburgo, a terceira é Os Ánxeles, seguida de Sydney e, finalmente, Toquio. E o resto dos compromisarios de xeito semellante, como se indica no cadro anterior.

Unha vez que temos fixadas as preferencias individuais dos membros do Comité Olímpico Internacional, temos de decidir cal é a cidade ganadora, é dicir, establecer a preferencia colectiva.

Maioría simple

Este método, coñecido tamén como «método de pluralidade», é o método de votación máis antigo e sinxelo que existe. Cada votante expresa a súa preferencia individual votando pola súa candidatura preferida e á fin cóntanse os votos que recibe cada unha das opcións que se presentaron. A que obtiver máis apoios, máis votos, será a ganadora.

Este sistema sinxelo é un dos máis empregados, sobre todo en grandes votacións. Por exemplo, é o sistema utilizado nas eleccións presidenciais do Canadá, os Estados Unidos, México, Venezuela, Palestina, Panamá ou Ruanda, entre moitos outros países. Do mesmo xeito, tamén adoita ser o sistema empregado nas eleccións primarias de moitos partidos políticos.

Papeleta electoral das eleccións de 2016 a presidente e vicepresidente dos Estados Unidos de América.

Entre os inconvenientes deste sistema de votación está o feito de que pode ganar unha candidatura que non sexa a desexada pola maioría das persoas do colectivo de votantes, se hai varias opcións similares que fan que o voto se divida dentro desas opcións parecidas. É un sistema que permite desenvolver estratexias para manipular o resultado; por exemplo, se hai dúas opcións de voto e quen convoca as eleccións recea que perda a súa opción, pode tentar dividir a opción contraria en dúas opcións semellantes que deriven dela para que se divida o voto. Por exemplo, nas eleccións para a saída do Reino Unido da Unión Europea, onde houbo dúas opcións («si», saír da Unión, e «non», permanecer nela), podería haber tres opcións deste estilo:

  1. Saír da Unión mantendo unha alianza estratéxica con ela.
  2. Saír da Unión rompendo toda relación.
  3. Ficar na Unión.

Poida que así o voto do «si» podería dividirse entre as opcións 1 e 2. É un exemplo simple, pero serve para ilustrar a idea.

Utilizando este sistema de votación, o da maioría simple, os resultados para a elección da sede dos vindeiros Xogos Olímpicos serían estes:

Condorcet 3 - Maioría simple

É dicir, Barcelona, 18 votos; Toquio, 12 votos; Sydney, 10 votos; Xohanesburgo, 9 votos, e Os Ánxeles, 6 votos. Polo tanto, a cidade ganadora e, consecuentemente, sede dos seguintes Xogos Olímpicos sería Barcelona.

Sistema de dúas quendas

Outro dos métodos de votación, utilizado en moitas eleccións presidenciais como en Francia, Brasil, Portugal, Polonia, Rusia, Colombia, Arxentina, Chile, Perú ou Indonesia, é o método de segunda quenda ou segunda volta.

Este consiste no seguinte. Se despois da primeira votación, na cal cada persoa vota pola súa candidatura preferida coma no sistema de maioría simple, algunha das candidaturas acadou a maioría absoluta, é dicir, máis do 50 % dos votos, daquela é a ganadora. Outramente as dúas opcións máis votadas pasan á segunda quenda, producíndose entón unha votación unicamente entre estas dúas opcións.

Vexamos un caso real, as eleccións francesas de 2002, nas cales había 16 candidatos á presidencia da República Francesa. Na primeira quenda os resultados foron:

Eleccións presidenciais francesas (2002)
Primeira quenda
Candidato Partido Votos Porcentaxe
Jacques Chirac RPR 5 665 855 19,88 %
Jean-Marie Le Pen FN 4 804 713 16,86 %
Lionel Jospin PS 4 610 113 16,18 %
François Bayrou UDF 1 949 170 6,84 %
Arlette Laguiller LO 1 630 045 5,72 %
Jean-Pierre Chevènement MDC 1 518 528 5,33 %
Noël Mamère Les Verts 1 495 724 5,25 %
Olivier Besancenot LCR 1 210 562 4,25 %
Jean Saint-Josse CPNT 1 204 689 4,23 %
Alain Madelin DL 1 113 484 3,91 %
Robert Hue PCF 960 480 3,37 %
Bruno Mégret MNR 667 026 2,34 %
Christiane Taubira PRG 660 447 2,32 %
Corinne Lepage Cap21 535 837 1,88 %
Christine Boutin FRS 339 112 1,19 %
Daniel Gluckstein PT 132 686 0,47 %
TOTAL 28 498 471

Os dous candidatos que pasaron á segunda quenda foron Jacques Chirac (do RPR, Agrupamento pola República, partido conservador francés neogaullista) e mais Jean-Marie Le Pen (do FN, Fronte Nacional, partido político francés de extrema dereita). Jean-Marie Le Pen deixou fóra da segunda quenda, por unha pequena porcentaxe, o socialista Lionel Jospin, que era a priori o candidato natural para pasar á segunda quenda.

Na segunda quenda o resultado da votación entre Jacques Chirac e Jean-Marie Le Pen foi o seguinte:

Eleccións presidenciais francesas (2002)
Segunda quenda
Candidato Partido Votos Porcentaxe
Jacques Chirac RPR 25 537 956 82,21 %
Jean-Marie Le Pen FN 5 525 032 17,79 %

Triunfou dun xeito esmagador Jacques Chirac, mentres Jean-Marie Le Pen non obtivo un incremento significativo na porcentaxe de votos.

Volvendo ao noso exemplo, se observamos os resultados da votación polos membros do coi, as dúas candidaturas máis votadas foron Barcelona, con 18 votos (que son o 32 % dos votos), e Toquio, con 12 votos (que son o 21,8 % dos votos). Como ningunha das candidaturas obtivo unha maioría absoluta, esas dúas cidades, Barcelona e mais Toquio, pasan á segunda quenda. E prodúcese, polo tanto, unha segunda votación.

Na vida real, entre a primeira e a segunda votación poden producirse cambios na opinión dos votantes. Os motivos poden ser moi diversos. Por exemplo, poida que haxa votantes que estean desencantados ou cansos das eleccións, ou poida que as candidaturas que pasaron á segunda quenda non teñan o atractivo suficiente para algúns votantes, ou que algúns votantes modifiquen a súa intención de voto na segunda quenda por suxestión daqueles que apoiaban a candidatura pola que votaran na primeira.

É dicir, na vida real a cuestión é máis complexa ca neste exemplo, onde xa temos a intención de voto na segunda quenda marcada polas preferencias da votación realizada. En calquera caso, se miramos o cadro de preferencias anterior e vemos cales son as preferencias dos compromisarios na votación entre Barcelona e Toquio (no cadro seguinte deixamos soamente estas dúas cidades)…

Condorcet 4 - Segunda quenda

…observamos que o resultado da segunda quenda será: Barcelona, 18 votos, e Toquio, 37 votos, pois todos os compromisarios que non votaron a Barcelona na primeira quenda prefiren Toquio a Barcelona. A cidade ganadora e, consecuentemente, sede dos seguintes Xogos Olímpicos será Toquio.

Eliminación dos perdedores

Este é o sistema que emprega realmente o Comité Olímpico Internacional, coa excepción de que nós estamos a contar coa intención de voto desde o inicio para determinar o que votará cada compromisario nas diferentes quendas que se van producir, mentres na realidade, entre unha votación e a seguinte, cada compromisario pode cambiar de opinión, xa sexa de forma libre, coa intención de manipular o resultado en favor dunha opción débil e tentando eliminar algunha candidatura rival con posibilidades, ou ben como consecuencia do xogo político que se desenvolve neses momentos entre bastidores.

O método de eliminación dos perdedores consiste no seguinte. Cada votante dálle o seu voto á candidatura que pensa que é a mellor de todas, coma nas anteriores, pero despois do reconto de votos elimínase a candidatura menos votada. Entón prodúcese a segunda quenda, na que se vota entre todas as candidaturas bardante a que foi eliminada, cóntanse os votos e elimínase a candidatura con menos votos. Continúase así ata que soamente queda unha candidatura, que será a ganadora da votación.

Por exemplo, en outubro de 2009 produciuse a elección da sede dos Xogos Olímpicos de 2016. As cidades candidatas foron o Río de Xaneiro, Madrid, Toquio e mais Chicago. Na primeira quenda os resultados da votación dentro do coi foron:

Río de Xaneiro, 26 votos; Madrid, 28 votos; Toquio, 22 votos, e Chicago, 19 votos.

Polo método da maioría simple ganaría Madrid. Emporiso, como empregan o método da eliminación do perdedor, eliminouse a Chicago nesa primeira quenda. Os resultados da segunda votación foron:

Río de Xaneiro, 46 votos; Madrid, 29 votos, e Toquio, 20 votos.

Observemos que Toquio non soamente non ganou votos, senón que perdeu dous dos votos da primeira quenda. Pasaron á seguinte quenda o Río de Xaneiro e mais Madrid, onde perdeu Madrid por 66 fronte a 32 votos.

No noso exemplo temos que os resultados das votacións en cada unha das quendas, seguindo a intención de voto que manifestaron inicialmente (véxase o cadro de arriba), serían:

Condorcet 5 - Eliminación do perdedor

As cidades eliminadas en cada quenda serían Os Ánxeles, Xohanesburgo, Toquio e finalmente Barcelona, quedando como cidade ganadora e, consecuentemente, sede dos seguintes Xogos Olímpicos Sydney.

Reconto de Borda

Este sistema de votación, proposto polo matemático, físico, navegante e político francés Jean-Charles de Borda (1733-1799), emprégase por exemplo nas eleccións primarias de Podemos e nas eleccións presidenciais de Kiribati, no océano Pacífico. Tamén se utilizou no proceso de pacificación de Irlanda.

Este método consiste en darlles peso ás preferencias dos votantes sobre as candidaturas mediante a asignación de puntos segundo a orde de preferencia. Deste xeito prímanse as primeiras preferencias sobre as últimas.

Así, na nosa votación para a sede dos Xogos Olímpicos concédense 5 puntos á cidade preferida do votante, 4 puntos á segunda opción, 3 puntos á terceira, 2 puntos á cuarta e 1 punto á derradeira, como se observa na imaxe.

Condorcet 6 - Reconto de Borda

Desta maneira, o número de puntos de cada candidatura é:

Condorcet 7 - Borda 2

Consecuentemente, a cidade ganadora e sede dos seguintes Xogos Olímpicos é Xohanesburgo.

Método de Condorcet

O método de Condorcet, como xa anticipabamos no paradoxo que leva o seu nome, é o dos enfrontamentos de todas as candidaturas de dúas en dúas, é dicir, cada candidatura compárase co resto de candidaturas e a que «gane» máis enfrontamentos gana as eleccións.

No noso exemplo, como temos cinco cidades candidatas a sede dos Xogos Olímpicos, o número de enfrontamentos de dúas en dúas será 10. Cada cidade enfróntase a outras catro.

Por exemplo, se enfrontamos Os Ánxeles con Sydney, o resultado da votación dos compromisarios se só votan por unha das dúas é (miremos o cadro anterior de preferencias): Os Ánxeles, 36 votos; Sydney, 19 votos.

A única cidade que, neste exemplo, gana todos os seus enfrontamentos é Os Ánxeles. En concreto, 28 a 27 contra Xohanesburgo, 36 a 19 contra Sydney, 33 a 22 contra Toquio e 37 a 18 contra Barcelona. Polo tanto, a cidade ganadora destas eleccións e sede dos seguintes Xogos Olímpicos sería Os Ánxeles.

«Voting Line», do artista americano Charly Palmer.

Este exemplo ilústranos como o ganador da anterior votación non o determinan unicamente as preferencias individuais dos votantes, senón tamén o método de votación escollido. Cunhas mesmas preferencias individuais (as que recollemos no cadro inicial) obtense que cada cidade candidata podería ganar as eleccións dependendo do sistema de votación elixido.

Consecuentemente, deberase tentar escoller o método de votación que permita determinar a preferencia colectiva que mellor represente as preferencias individuais dos votantes. Este será o tema do vindeiro artigo.

Para rematarmos, unha citación do filósofo, matemático e político francés. Tras a Revolución Francesa, a Asemblea Nacional estivo a traballar nos Dereitos do home e do cidadán deixando fóra as mulleres. Unha das persoas que pediu o recoñecemento dos dereitos da muller foi precisamente o marqués de Condorcet.

Quen vota en contra do dereito doutro ser, sexan cales sexan a súa relixión, a cor da súa pel ou o seu sexo, renuncia aos seus desde ese preciso momento.

«Verbo da admisión das mulleres ao dereito de cidadanía»

Marqués de Condorcet, 1790

[Este artigo continúa con O disputado voto do señor Condorcet (II).]


Sobre o autor: Raúl Ibáñez Torres (@mtpibtor) é profesor do departamento de Matemáticas da Universidade do País Vasco (Universidad del País Vasco – Euskal Herriko Unibertsitatea) e colaborador da Cátedra de Cultura Científica.

Advertisements

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair /  Cambiar )

Google photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google. Sair /  Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair /  Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair /  Cambiar )

Conectando a %s