O disputado voto do señor Condorcet (II)

[Esta é unha tradución adaptada do artigo orixinal de 29 de novembro de 2017 El disputado voto del señor Condorcet (II), de Raúl Ibáñez Torres, que pode lerse nesta ligazón.]

[O artigo previo da serie é O disputado voto do señor Condorcet (I).]

No meu anterior artigo desta serie falamos do problema da escolla social, é dicir, de como converter as preferencias individuais dun grupo de persoas, xa sexa unha nación, a Academia das Artes e as Ciencias Cinematográficas, o Comité Olímpico Internacional ou unha comunidade de veciños, nunha preferencia colectiva.

No devandito artigo amosamos que a candidatura ganadora nunhas eleccións, por exemplo, para a presidencia dun país, escoller a mellor película do ano, determinar a sede dos Xogos Olímpicos ou contratar a empresa que vai reformar a fachada do noso edificio, non está unicamente determinada polas preferencias das persoas que votan, senón tamén polo sistema de votación empregado. Para ilustrar esta realidade utilizouse un exemplo ficticio, a escolla da sede dos seguintes Xogos Olímpicos polo
coi, con cinco cidades candidatas. Para cada un dos cinco sistemas de votación que se empregaron obtívose unha cidade ganadora distinta sen que cambiasen as preferencias dos votantes.

Pero daquela, que sistema de votación debemos escoller cando teñamos de realizar unha escolla colectiva? Máis concretamente,

que método de votación é o que mellor representa as preferencias dos individuos do colectivo de votantes?

Verbo desta cuestión investigou o economista e matemático estadounidense Kenneth J. Arrow (1921-2017), que ademais ganou o premio Nobel de Economía en 1972.

O economista e matemático estadounidense Kenneth J. Arrow (1921-2017).

O primeiro que fixo Arrow foi establecer os criterios que debía satisfacer un sistema de votacións razoable. Concretamente, os criterios que estableceu foron os seguintes:

  1. Non ditadura. Que as preferencias de ningún individuo determinen as preferencias do colectivo. Por exemplo, se o presidente dunha compañía ten a última palabra sobre calquera cuestión que se propoña no consello de administración, logo semella que non ten moito sentido, a priori, realizar votacións, pois as decisións que debe tomar a empresa serán as que este determine, independentemente da opinión, establecida mediante votación, do consello de administración.
  2. Universalidade. Calquera preferencia individual, é dicir, calquera listaxe ordenada de preferencias entre as candidaturas, é lexítima. Imaxinemos que estamos a analizar as preferencias dun grupo de persoas sobre certas cores; por exemplo, as que aparecen na imaxe de abaixo (vermello, laranxa, amarelo, verde, azul e morado). Queremos determinar cal é a súa cor preferida; aínda máis, cal é a orde de preferencia do colectivo con relación a esas cores. O principio de universalidade establece que calquera orde de preferencia debe ser elixible, non pode condicionarse a escolla impedindo, por exemplo, que o vermello poida elixirse por diante do verde, ou unha orde determinada, como verde, azul, amarelo, vermello, laranxa e morado.

  1. Transitividade. Se un individuo, ou do mesmo xeito o colectivo, prefire a alternativa A á B, e a B á C, entón prefire a alternativa A á C. No noso exemplo con cores, se a certa persoa do grupo lle gusta máis a cor vermella ca a verde e a cor verde gústalle máis ca a morada, logo debe gustarlle máis a cor vermella ca a morada.
  2. Principio do parapeto. Se todos os individuos do colectivo prefiren a opción A á opción B, o colectivo debe preferir a opción A á B. É dicir, se todas as persoas do grupo que está opinando prefiren a cor azul á verde, o sistema de votación debe manter que a cor azul sexa preferida á verde.
  3. Independencia de alternativas irrelevantes. As preferencias colectivas con relación a dúas candidaturas ou alternativas concretas non deben cambiar se os votantes cambian as súas preferencias con relación a outras candidaturas. Supoñamos que o electorado prefire a alternativa A á B e que algúns votantes cambian as súas listaxes de preferencias. Se ningún dos votantes que cambiou a súa listaxe mudou a posición relativa das candidaturas A e B (é dicir, se antes de cambiar a súa listaxe de preferencias preferían A a B, ao cambiala manteñen que prefiren A a B, ou se antes do cambio preferían B a A, despois seguen preferindo B a A), daquela o sistema de votacións deberá seguir indicando que colectivamente se prefire a alternativa A á B.

Ilustremos esta última regra cun exemplo real que lin no curso As matemáticas no deporte, de Annette Pilkington. Trátase da patinaxe artística feminina dos Xogos Olímpicos de Salt Lake City en 2002, cuxos resultados, obtidos da Wikipedia, foron os que aparecen no cadro seguinte. A medalla de ouro foi para Sarah Hughes (Estados Unidos), a de prata foi para Irina Slútskaia (Rusia) e a de bronce para Michelle Kwan (Estados Unidos).

Pos. Nome Nación Puntos P. C. E. L.
1 Sarah Hughes Estados Unidos 3,0 4 1
2 Irina Slútskaia Rusia 3,0 2 2
3 Michelle Kwan Estados Unidos 3,5 1 3
4 Sasha Cohen Estados Unidos 5,5 3 4
5 Fumie Suguri Xapón 8,5 7 5
6 María Butýrskaia Rusia 8,5 5 6
7 Jennifer Robinson Canadá 11,0 8 7
8 Júlia Sebestyén Hungría 11,0 6 8
9 Viktoria Volchkova Rusia 16,0 12 10
10 Silvia Fontana Italia 17,5 11 12
11 Elina Kettunen Finlandia 18,0 18 9
12 Galina Maniachenko Ucraína 18,5 15 11
13 Sarah Meier Suíza 20,5 9 16
14 Olena Liaxenko Ucraína 21,0 16 13
15 Laëtitia Hubert Francia 22,0 14 15
16 Vanessa Gusmeroli Francia 22,0 10 17

A competición da patinaxe artística nos Xogos Olímpicos de Salt Lake City en 2002 tiña dúas partes: o programa curto e mais o estilo libre. O programa curto puntuábase do xeito seguinte. A patinadora ganadora recibía 0,5 puntos, a segunda 1 punto, a terceira 1,5 puntos, a cuarta 2 puntos e así ata o final. Ao final do programa curto dos Xogos Olímpicos de Salt Lake City o resultado entre as primeiras posicións era, segundo a posición que vén no cadro:

  1. Kwan: 0,5
  2. Slútskaia: 1,0
  3. Cohen: 1,5
  4. Hughes: 2,0

No estilo libre a patinadora ganadora recibía 1 punto, a segunda 2 puntos, a terceira 3 puntos, a cuarta 4 puntos e así ata o final. A orde das patinadoras no estilo libre de Salt Lake City foi:

  1. Hughes: 1,0
  2. Slútskaia: 2,0
  3. Kwan: 3,0
  4. Cohen: 4,0

Consecuentemente, a puntuación final da competición de patinaxe sobre xeo feminino nas primeiras catro posicións foi:

  1. Hughes: 3,0
  2. Slútskaia: 3,0
  3. Kwan: 3,5
  4. Cohen: 5,5

Aínda que se produciu un empate entre as dúas primeiras, de 3,0 puntos, a mellor posición de Sarah Hughes no estilo libre permitiulle obter a medalla de ouro.

Pero, seguindo coa idea da independencia de alternativas irrelevantes, supoñamos que os xuíces e xuízas da competición modifican a puntuación de Slútskaia no estilo libre, relegándoa a unha posición alén da cuarta, de forma que as tres primeiras posicións son agora:

  1. Hughes: 1,0
  2. Kwan: 2,0
  3. Cohen: 3,0

mentres Slútskaia obterá máis puntos ca as outras tres. A posición relativa de Hughes, Kwan e Cohen non cambiou; porén, agora a puntuación final sería:

  1. Kwan: 2,5
  2. Hughes: 3,0
  3. Cohen: 4,5

Michelle Kwan obtería a medalla de ouro e superaría, ao ser desprazada Slútskaia a unha posición máis baixa, a Sarah Hughes, contrariamente ao que establece a independencia de alternativas irrelevantes.

Medallistas de patinaxe artística nos Xogos Olímpicos de Salt Lake City en 2002: Sarah Hughes (Estados Unidos), Irina Slútskaia (Rusia) e Michelle Kwan (Estados Unidos).

Polo tanto, este método de votación empregado na patinaxe artística dos Xogos Olímpicos de Salt Lake City en 2002 non satisfai a independencia de alternativas irrelevantes. Outro método que tampouco satisfai este criterio é, por exemplo, o método de Borda, como podedes comprobar no exemplo da elección da sede dos Xogos Olímpicos que amosamos no artigo O disputado voto do señor Condorcet (I).

Unha vez establecidos os criterios que debe ter un sistema de votación razoable, trátase de atopar métodos de votación que os satisfagan. Por desgraza, na década de 1950 Kenneth J. Arrow demostrou que

non existen sistemas de votación razoables!!

Máis concretamente, o resultado coñecido como teorema de imposibilidade de Arrow establece, na súa formulación máis moderna, o seguinte: «Ningún sistema de votación, con tres ou máis alternativas, que non sexa unha ditadura pode satisfacer o principio do parapeto e a independencia de alternativas irrelevantes».

Papeleta en branco que di: «Estás de acordo coa reunificación de Austria co Imperio Alemán efectuada o 13 de marzo de 1938 e votas a favor da lista do noso líder Adolf Hitler? Si / Non».

O teorema de imposibilidade de Arrow dinos que non existe un sistema de votación perfecto; porén, na nosa sociedade imos seguir tendo de elixir colectivamente sobre diferentes cuestións, ante o cal preséntase a dúbida de como afrontar este resultado negativo. Que sistema de votación deberiamos empregar? Neste sentido, hai dous camiños que se poden seguir.

Por unha banda, perante calquera elección colectiva haberá que escoller dun xeito crítico o sistema de votación que se empregará, valorando as eivas e virtudes de cada un dos sistemas que existen e tentando determinar cal se axusta máis aos obxectivos da elección que se quere realizar.

Pola outra banda, as persoas que investigan sobre elección social seguen na procura de novos sistemas de votación, mellorando tamén os que xa existen co obxectivo de minimizar os aspectos negativos dos sistemas de votación coñecidos. Por exemplo, téntase evitar, dentro do posible, que sexan manipulables para determinar a candidatura ganadora dunhas eleccións.

Para terminar este artigo imos amosar dous interesantes sistemas de votación nas súas versións máis sinxelas.

Método de «segunda quenda instantánea» ou «voto alternativo»

No voto alternativo cada votante non se cingue a marcar a candidatura que desexa que gane, senón que marca varios candidatos con números 1, 2, 3 etcétera, indicando desta maneira a súa orde de preferencia desde a súa opción preferida, 1, ata a menos preferida, podendo quedar candidaturas sen marcar. Un exemplo sería a imaxe de máis abaixo, onde o votante marcou, das cinco candidaturas posibles, a candidatura C cun 1 (é dicir, a súa preferida); como seguinte opción, a candidatura B cun 2; despois, cun 3, a E, e finalmente, cun 4, a candidatura A, deixando sen marcar a candidatura D.

Unha vez realizada a votación, como se leva a cabo a elección da candidatura ganadora? Primeiro realízase o reconto das candidaturas marcadas cun 1. Se algunha das candidaturas obtén a maioría absoluta, é dicir, máis do 50 % dos votos, proclámase ganadora das eleccións. Outramente elimínase a candidatura que recibiu menos apoio (a que quedou na derradeira posición tras o reconto de votos) e procédese á segunda quenda instantánea. É dicir, na segunda votación cóntanse de novo os votos marcados cun 1 agás nos votantes que marcaran cun 1 a candidatura que se eliminou, para os cales considérase o voto marcado co número 2, a súa segunda opción. E, de novo, faise o reconto de votos. Se algunha candidatura obtén a maioría absoluta, declárase ganadora; se non, realízase unha terceira quenda instantánea do mesmo xeito, eliminando primeiro a candidatura perdedora desa segunda quenda. O proceso repítese ata que unha das candidaturas reciba a maioría absoluta.

Este sistema de votación coñécese tamén como sistema de Hare, en referencia á persoa que o inventou en 1859, o avogado inglés sir Thomas Hare (1806-1891). Ás veces tamén é coñecido como sistema de Ware, pois tamén foi introducido de xeito independente en 1871 polo arquitecto norteamericano William Robert Ware (1832-1915).

Este método de votación emprégase, por exemplo, nas eleccións ao parlamento de Australia e Malta, nas eleccións presidenciais de Irlanda e da India, nas eleccións primarias dos partidos políticos do Reino Unido e do Canadá e nas eleccións á alcaldía de varias cidades do mundo, como Londres ou San Francisco.

Exemplo de papeleta electoral das eleccións ao parlamento australiano, no que pode lerse o texto «Numere as casas de 1 a 8 na orde da súa elección».

Desde 2009 emprégase para elixir o Oscar á mellor película da Academia das Artes e das Ciencias Cinematográficas (Academy of Motion Picture Arts and Sciences). Na categoría do Oscar á mellor película selecciónanse cada ano entre 5 e 10 películas, en 2017 foron 9 (as que aparecen na imaxe seguinte), e a votación realízase polo método da «segunda volta instantánea» marcando cada votante as súas preferencias, desde o 1 ata o número que considere necesario.

Películas nomeadas para o Oscar á mellor película na 89.ª edición da Academia das Artes e das Ciencias Cinematográficas, en 2017.

Método de «voto aprobatorio»

O sistema de voto aprobatorio é un sinxelo método de votación que consiste en que cada votante pode votar por tantos candidatos como desexe. É dicir, na listaxe de candidaturas que aparecen na papeleta de votación, cada votante marca cunha cruz ou dalgún xeito semellante tantas candidaturas como desexe (como se amosa no exemplo da seguinte imaxe). Denomínase voto aprobatorio porque, dalgún xeito, estase a aprobar (cando se marca a casa) ou rexeitar (se non se marca) cada unha das candidaturas.

O método de votación coñecido como «voto aprobatorio» foi introducido na década de 1970 por varios autores. Por exemplo, Guy Ottewell explicouno no seu texto The Arithmetic of Voting («A aritmética das votacións») publicado en 1977, aínda que o escribira orixinalmente en 1968. Ou, de xeito máis extenso, foi explicado polo experto en teoría de xogos e ciencias políticas Steven Brams e o matemático Peter Fishburn, ambos estadounidenses, no artigo Approval Voting («Voto aprobatorio») de 1978.

O voto aprobatorio é útil para evitar a manipulación dunhas votacións cando se introduce unha opción alternativa, pero cercana, á candidatura que semella que será ganadora, para dividir o voto e que gane unha das opcións contrarias. Do mesmo xeito, é útil para evitar o problema da existencia de moitas candidaturas similares dentro da opción maioritaria, mentres a opción minoritaria se manifesta cunha única alternativa que, se ben minoritaria, pode acabar ganando as eleccións polo efecto da división do voto.

Vexamos un exemplo clásico na literatura da elección social: as eleccións primarias do Partido Republicano en New Hampshire (Estados Unidos) en 1980. O ganador daquelas eleccións foi Ronald Reagan, co 50 % dos votos, mentres os seus dous rivais máis próximos foron George Bush, co 23 %, e Howard Baker, co 13 %. Ningún dos demais candidatos acadou o 10 %.

Que pasaría se se realizase un voto aprobatorio naquelas eleccións? A canle televisiva ABC fixo unha enquisa á saída dos colexios electorais de New Hampshire, empregando o sistema de voto aprobatorio. O resultado foi que Ronald Reagan subiu ata o 58 % e George Bush ata o 39 %, pero o meirande beneficiado sería Howard Baker, que tería un 41 % dos votos quedando incluso segundo nesas eleccións.

Tras as eleccións primarias de Vermont e Massachusetts, Howard Baker retirouse das primarias do Partido Republicano, deixando sós na loita a Reagan, que ganaría e sería presidente dos Estados Unidos, e Bush, que quedaría segundo e sería vicepresidente con Reagan, o que lle abriu o camiño para ser despois o seguinte presidente dos Estados Unidos. Se se empregase o sistema aprobatorio, quizais Howard Baker non deixaría as primarias e podería ser vicepresidente con Reagan e despois presidente dos Estados Unidos.

O sistema de voto aprobatorio emprégase para as votacións de diferentes asociacións científicas como a Asociación Matemática de América (Mathematical Association of America), a Sociedade Matemática Americana (American Mathematical Society) ou o Instituto de Enxeñeiros Eléctricos e Electrónicos (Institute of Electrical and Electronics Engineers), entre outras, e nas eleccións primarias dalgúns partidos.

En 1920 as mulleres dos Estados Unidos viron por fin recoñecido oficialmente o seu dereito ao voto. Este folleto circulou aquel ano afoutando as mulleres a exercer o seu dereito a votar.

Sobre o autor: Raúl Ibáñez Torres (@mtpibtor) é profesor do departamento de Matemáticas da Universidade do País Vasco (Universidad del País Vasco – Euskal Herriko Unibertsitatea) e colaborador da Cátedra de Cultura Científica.

Advertisements

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair /  Cambiar )

Google photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google. Sair /  Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair /  Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair /  Cambiar )

Conectando a %s