Teoría de xogos (XXIII): A guerra de sexos (I)

[Esta é unha tradución autorizada de Ciención de Breogán, adaptada do artigo orixinal de 18 de marzo de 2011 Teoría de juegos XXIII – La guerra de sexos (I), de Javier “J” Sedano, que pode lerse en El Cedazo. Toda a serie Teoría de juegos está publicada en forma de libro, dispoñible aquí.]

[O artigo previo da serie é Teoría de xogos (XXII): «Stock options».]

O concepto que imos introducir hoxe xa apareceu moitas veces ao longo da serie, pero nunca lle puxemos nome explicitamente. Coma sempre, imos aproveitar para propor un xogo, analizalo empregando moitos dos conceptos que xa vimos e, polo camiño, explicar un novo: a asimetría.

O xogo que imos analizar hoxe é o da guerra de sexos.

A guerra de sexos existe desde sempre. [Fonte: Flickr de tnarik]
Ana e mais Alberte, que andan a facerse as beiras mutuamente, quererían coincidir na actividade desta tarde. Pero ao mesmo tempo cada un ten gustos diferentes, así que lles gustaría coincidir… pero na actividade que lle gusta a cada un. Por se máis adiante caes na tentación: non, non poden coordinarse previamente.

Vexamos cal é a matriz de recompensas.

Ana
Tenis Discoteca
Alberte Tenis 3, 2 1, 1
Discoteca 0, 0 2, 3

Cada un deles pode decidir ir ao Tenis ou á Discoteca. En cada cela da matriz pomos primeiro o pagamento de Alberte e logo o de Ana. Como diciamos, ambos a dous están a cortexarse mutuamente, así que o seu maior pagamento é cando coinciden na escolla (isto é, a diagonal da matriz). Pero claro, se coinciden facendo o que quere Alberte, el gana un pouquiño máis (3), mentres Ana gana moito pero non o máximo (2). Temos unha situación semellante se coinciden na discoteca.

Nos outros dous puntos da matriz, o que temos é que cada un fai a actividade escollida, pero non coinciden. Se ao menos a actividade escollida era a que lles gustaba, reciben un punto de consolación; e se aínda por riba teñen a mala sorte de escolleren a que non lles gustaba, pois éche o que hai.

Xogo simétrico

Xogo simétrico: é un xogo no cal os xogadores poden intercambiar as súas estratexias e posicións sen que mude o resultado do xogo.

 

Intuitivamente, podemos ver que os xogos como a caza do cervo, o dilema do prisioneiro ou «pedra, papel ou tesoiras» eran xogos simétricos. Vamos lembrar aquí a matriz do dilema do prisioneiro e facer cálculos sobre ela:

Albert
Delata Cala
Anny Delata −6, −6 0, −10
Cala −10, 0 −1, −1

Cando o xogo se especifica cunha matriz de recompensas, adoita ser fácil comprobar se é un xogo simétrico ou non. Para isto, cóllese a matriz de pagamentos dun dos xogadores (vexamos a de Anny).

Albert
Delata Cala
Anny Delata −6 0
Cala −10 −1

Despois traspomos a matriz:

Albert
Delata Cala
Anny Delata −6 −10
Cala 0 −1

E comparámola coa matriz de pagamentos do outro xogador (Albert):

Albert
Delata Cala
Anny Delata −6 −10
Cala 0 −1

Coinciden? Si. Logo é un xogo simétrico.

Pero claro, non todos os xogos poden especificarse cunha matriz de pagamentos, senón que temos de empregar a forma extensiva. Para eses hai outro xeito de comprobalo. Primeiro explicámolo para o caso da matriz de pagamentos (en realidade, se o miras con coidado, verás que é o mesmo procedemento que acabamos de contar) e logo aplicámosllo a un xogo en forma extensiva.

Escollemos un par de estratexias [x, y] e vemos o pagamento para o xogador 1. Por exemplo, eliximos [Cala, Delata] e vemos que o pagamento de Anny é −10 (se Anny Cala e Albert Delata, Anny cobra −10). Logo intercambiamos as decisións e buscamos o pagamento para o outro xogador. É dicir, se eliximos [Delata, Cala], o pagamento para Albert é −10. Coinciden ambos os pagamentos? Si. Probamos con outra combinación de decisións, e outra e outra. Se coincide para todas as posibles combinacións de Anny e mais Albert, daquela é simétrico; se non coincide para, ao menos, unha das combinacións, logo é asimétrico.

Vámosllo aplicar a un dos xogos que vimos en forma extensiva. Por exemplo, o do cempés:

Se a decisión é [Continuar, Interromper] (é dicir, Ana Continúa e Alberte Interrompe), o pagamento para Ana é 1. Agora intercambiamos as súas decisións: [Interromper, Continuar]1 e buscamos o pagamento de Alberte… É cero. Cero é igual que un? Non. Logo non precisamos comprobar máis combinacións: o xogo é asimétrico.

Se o xogo é infinito, nin sequera temos trucos coma este, porque é máis difícil definir as recompensas. Soamente podemos intercambiar as estratexias e posicións dos xogadores e ver se as súas ganancias (sexa como sexa que estean definidas) coinciden.

E tornando ao xogo da guerra de sexos, é simétrico ou non? Pois, aínda que pareza sorprendente, a guerra de sexos é simétrica… pero temos de buscar ben a simetría.

Se analizamos a matriz de pagamentos de Alberte:

Ana
Tenis Discoteca
Alberte Tenis 3 1
Discoteca 0 2

Traspómola:

Ana
Tenis Discoteca
Alberte Tenis 3 0
Discoteca 1 2

E comparámola coa matriz de pagamentos de Ana:

Ana
Tenis Discoteca
Alberte Tenis 2 1
Discoteca 0 3

Pois moi iguales non semellan, non…

Pero se, no canto de buscar a diagonal de arriba á esquerda cara abaixo á dereita, buscamos a diagonal de arriba á dereita cara abaixo á esquerda… aí si que vemos a simetría!

Ana
Tenis Discoteca
Alberte Tenis 3, 2 1, 1
Discoteca 0, 0 2, 3

Isto é así porque estamos describindo o xogo «mal». Se, no canto de pór as decisións como Tenis e Discoteca, as pomos como Gusta e Odia, daquela podemos reescribir a matriz do xeito seguinte:

Ana
Gusta Odia
Alberte Gusta 1, 1 3, 2
Odia 2, 3 0, 0

Agora si vemos claramente a simetría e, se tentamos algún dos métodos de arriba, veremos que si se cumpren. Claro, agora o significado das decisións Gusta e Odia hai que interpretalo dependendo do xogador que as tome: Gusta para Alberte é Tenis, mentres Gusta para Ana é Discoteca (e analogamente para as demais).

Xogo ordinalmente simétrico

Existe máis unha idea, que é a de xogo ordinalmente simétrico. Trátase dun xogo que, estritamente, é asimétrico, pero que con relación á orde dos pagamentos si é simétrico. Non vimos polo de pronto ningún xogo así, así que teremos de inventalo agora mesmo. Supoñamos un xogo coa seguinte matriz de recompensas:

Albert
Delata Cala
Anny Delata −6, −3 0, −6
Cala −10, 0 −1, −2

Separamos os pagamentos de Anny e marcámolos en orde de preferencia:

Albert
Delata Cala
Anny Delata −6 (3.º) 0 (1.º)
Cala −10 (4.º) −1 (2.º)

Traspomos a matriz:

Albert
Delata Cala
Anny Delata −6 (3.º) −10 (4.º)
Cala 0 (1.º) −1 (2.º)

E comparámola coa matriz de pagamentos de Albert:

Albert
Delata Cala
Anny Delata −3 (3.º) −6 (4.º)
Cala 0 (1.º) −2 (2.º)

Vemos que, se ben os valores exactos non son os mesmos, a orde de preferencias si o é. Polo tanto, é un xogo ordinalmente simétrico. Dependendo do que esteamos buscando no xogo, podería ser que nalgúns casos (por exemplo, considerando só estratexias puras) a simetría ordinal abondase para considerar o xogo simétrico.

Solución da guerra de sexos

Pero non queremos quedar sen solucionar o xogo da guerra de sexos, non si?

Ben, pois sento deixarte co mel nos beizos, pero iso será na segunda parte. Xa sei que o artigo de hoxe non é aínda demasiado longo, pero o que nos queda si é longo e, ademais, bastante denso. Nalgún sitio tiña de cortar, e vai ser aquí…

[O seguinte artigo da serie é Teoría de xogos (XXIV): A guerra de sexos (II).]


Este artigo e mais a súa tradución están publicados baixo licenza CC BY-NC-ND 2.5 ES.


1. En realidade, a segunda decisión é irrelevante, porque ao Interromper na primeira quenda acábase o xogo, pero en fin.

Advertisements

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair /  Cambiar )

Google photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google. Sair /  Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair /  Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair /  Cambiar )

Conectando a %s