Teoría de xogos (XXVI): Como somos demócratas?

[Esta é unha tradución autorizada de Ciención de Breogán, adaptada do artigo orixinal de 13 de xuño de 2011 Teoría de juegos XXVI – ¿Cómo somos demócratas?, de Javier “J” Sedano, que pode lerse en El Cedazo. Toda a serie Teoría de juegos está publicada en forma de libro, dispoñible aquí.]

[O artigo previo da serie é Teoría de xogos (XXV): Os piratas democráticos.]

Parlamento

Hoxe imos continuar con esta serie de artigos profundando na idea das coalicións e de como afectan a toma de decisións engadindo un concepto novo: o índice de poder. Deste xeito veremos como se emprega a teoría de xogos para o deseño da política. Para isto, analizaremos con ollo crítico unha democracia con diversos matices e acabaremos reafirmando que si, que todos somos demócratas, pero que non estamos de acordo en como sermos demócratas.1

Non, non imos solucionar a política se iso é o que andas a preguntarte; só imos propor un par de cuestións.

Para que a análise saia como quero que saia, precisamos elixir moi coidadosamente os números dos exemplos, e iso é moi complicado. Así que, no canto de tentar facelo eu mesmo, arriscándome a enganarme, vou empregar os mesmos números que John Allen Paulos emprega no seu libro A Mathematician Reads the Newspaper («Un matemático le o xornal»). Non o liches? Pois xa tardas! Ese e todos os libros de Paulos. Innumeracy, traducido ao castelán como El hombre anumérico e ao portugués como Inumerismo, tamén é excepcional; recomendóunolo o profesor da asignatura onde aprendín os meus principios da teoría de xogos. O resto non os lin en detalle, pero por exemplo en A Mathematician Plays the Stock Market (en portugués A lógica do mercado de ações, en castelán Un matemático invierte en la bolsa) explica un xogo que é basicamente o de «dous terzos da media» que vimos nós e relaciónao coa bolsa. Ten outro sobre a relixión no que revisa, entre outras cousas, as Cinco Vías de santo Tomé.

O caso é que estamos nun país onde se produciron unhas eleccións xerais e, como é un país pequeniño, temos 55 congresistas sentados nos seus escanos. Agora, entre eles teñen de escoller o presidente do goberno. Loxicamente, cada un ten unhas preferencias distintas: dependendo da súa ideoloxía política de esquerda ou de dereita, do seu centralismo ou federalismo, da súa relación coa Igrexa ou do que sexa. A cuestión é que temos cinco candidatos (Aguiar, Barreiro, Cendán, Dopazo e mais Eiroa) e seis grupos de congresistas, agrupados segundo as preferencias relativas de cada un ante os cinco candidatos.

Congresistas
18 12 10 9 4 2
Preferencia 1.º A C B D E E
2.º D E C B C B
3.º E D E E D D
4.º B B D C B C
5.º C A A A A A

Aquí A refírese a Aguiar, B a Barreiro, C a Cendán, D a Dopazo e E a Eiroa.

Así, hai 10 congresistas que prefiren que o presidente sexa Barreiro, pero se non pode ser, logo que o sexa Cendán; e se non, Eiroa… e así consecutivamente.

Pero, claro, como contamos os votos?

Votar e que gane a maioría

Aguiar di que cada congresista debe votar o seu candidato e que sexa presidente quen obteña a maioría. Sae elixido Aguiar.

Exemplo da vida real: na túa comunidade de veciños queren pintar a porta e poden escollerse varias cores. Vótase e, como a cor que máis xente prefire é fucsia, pois píntase fucsia.

Segunda quenda

Cendán sostén que unha maioría calculada dese xeito non ten moito valor, porque o resto podería aliarse para elixir outro candidato. É dicir, Aguiar ten máis xente en contra que a favor. Así que propón unha elección en dúas quendas. Primeiro os congresistas elixen segundo a súa preferencia, e os dous primeiros van a unha gran final.

Na primeira quenda Aguiar obtén 18 votos, Barreiro 10, Cendán 12, Dopazo 9 e Eiroa 6. Así que Aguiar e mais Cendán pasan á segunda quenda.

Nesta segunda quenda Aguiar obtén 18 votos e Cendán 37, sendo escollido presidente Cendán.

Exemplo da vida real: a elección presidencial en Francia (e en moitos outros países). Da primeira quenda sácanse dous finalistas que se enfrontan nunha segunda quenda. Nalgunha ocasión deuse que os dous finalistas eran «de dereitas» e resultaba moi divertido ver que, na «final», os partidos de esquerda pedían o voto para un dos partidos de dereita… porque o outro era aínda máis de dereita.

Cinco quendas eliminatorias

Barreiro di entón que a idea de Cendán está ben, pero que no canto de dúas quendas habería que facer cinco, pois hai cinco candidatos. É dicir: que cada congresista vote, elimínase o que peor resultado obteña, pasamos á seguinte quenda e repetimos o proceso.

Logo na primeira quenda eliminamos a Eiroa (6 congresistas prefíreno a el) e axustamos a matriz. Neste caso, a matriz de preferencias queda desta maneira:

Congresistas
18 12 10 9 4 2
Preferencia 1.º A C B D C B
2.º D D C B D D
3.º B B D C B C
4.º C A A A A A

Agora repetimos o proceso. Quen menos apoio ten na primeira posición é agora Dopazo, con 9, así que o eliminamos e reaxustamos a matriz para obter:

Congresistas
18 12 10 9 4 2
Preferencia 1.º A C B B C B
2.º B B C C B C
3.º C A A A A A

Quen menos apoio ten agora é Cendán, con 16, quedando:

Congresistas
18 12 10 9 4 2
Preferencia 1.º A B B B B B
2.º B A A A A A

Finalmente eliminamos a Aguiar, que ten 18 votos contra os 37 de Barreiro. Como era visto, a proposta de Barreiro leva a que o escollido sexa Barreiro.

Exemplo da vida real: a escolla da cidade organizadora dos Xogos Olímpicos. Vanse eliminando pouco e pouco polo final.

Votos ponderados

Dopazo sostén que iso tampouco está ben, porque só se mira a primeira preferencia de cada congresista. O que propón el é que se lle asignen 5 puntos ao primeiro, 4 ao segundo, 3 ao terceiro… e que logo se sumen todos os puntos obtidos, nomeando presidente a quen máis puntos obteña.

Congresistas
18 12 10 9 4 2
Preferencia 1.º A C B D E E
2.º D E C B C B
3.º E D E E D D
4.º B B D C B C
5.º C A A A A A

Aguiar: 18 × 5 + 12 × 1 + 10 × 1 + 9 × 1 + 4 × 1 + 2 × 1 = 127
Barreiro: 18 × 2 + 12 × 2 + 10 × 5 + 9 × 4 + 4 × 2 + 2 × 4 = 162
Cendán: 18 × 1 + 12 × 5 + 10 × 4 + 9 × 2 + 4 × 4 + 2 × 2 = 156
Dopazo: 18 × 4 + 12 × 3 + 10 × 2 + 9 × 5 + 4 × 3 + 2 × 3 = 191
Eiroa: 18 × 3 + 12 × 4 + 10 × 3 + 9 × 3 + 4 × 5 + 2 × 5 = 189

Vaites! Gana Dopazo.

Exemplo da vida real: o Festival de Eurovisión. Cada país vai dándolles puntos aos cantantes e aquel que sume máis puntos gana.

Duelo home a home

Alguén dubidaba que Eiroa tamén ten o seu método? O seu método é comparar home a home:

Entre Aguiar e Eiroa, 18 apoiarían a Aguiar e 37 a Eiroa. No duelo Aguiar-Eiroa gana Eiroa.
Entre Barreiro e Eiroa, 19 apoiarían a Barreiro e 36 a Eiroa. Gana Eiroa.
Entre Cendán e Eiroa, 22 apoiarían a Cendán e 33 a Eiroa. Gana Eiroa.
Entre Dopazo e Eiroa, 27 apoiarían a Dopazo e 28 a Eiroa. Gana Eiroa.

Logo é evidente que a maioría prefire a Eiroa antes que a calquera outro.

Exemplo da vida real: este é o máis difícil. O máis semellante, se ben un pouco rebuscado, é o dunha liga deportiva: todos os equipos enfróntanse entre si e aquel que máis veces gane (ou máis puntos teña) é o campión.

* * *

Como diciamos ao comezo, todos temos claro que somos demócratas… pero a forma da democracia tamén inflúe, e moito. Non debe estrañarnos que, tras as eleccións reais, todos os partidos se congratulen por ganaren… Con tantos xeitos de medir, malo será que non ganen nalgún deles.

Índice de poder

Algúns autores propón introducir un concepto chamado índice de poder.

Índice de poder dun xogador: é o número de situacións nas que o resultado cambia debido á elección do xogador de se adherir a unha coalición ou a outra. Pois que é un índice, podemos referilo ao meirande deles, ao menor ou ao que queiramos: o importante son os valores relativos.

 

O mellor é velo con exemplos sinxelos e logo ir complicándoo. Partiremos dos tres piratas que viamos no artigo anterior: Barbanegra, L’Olonnais e mais Roberts.

Hai unha situación na que o voto de Barbanegra é decisivo: cando L’Olonnais e Roberts están cada un pola súa banda. Se Barbanegra apoiar a L’Olonnais, ganará a coalición BL, mentres que se apoiar a Roberts, ganará a coalición BR. En ningún outro caso o seu voto resulta determinante. Se L’Olonnais e Roberts xa formaron unha coalición, o voto de Barbanegra é irrelevante. Polo tanto, soamente nun caso o seu voto é decisivo.

Idéntica situación ten L’Olonnais: o seu voto só é determinante se Barbanegra e Roberts aínda están por separado.

E, por suposto, xa que o xogo é simétrico, a Roberts ocórrelle o mesmo. O índice de poder de todos eles é 1.

Ben; polo de pronto non dixemos nada que non soubésemos xa do artigo anterior. Vámolo complicar un pouco.

Supoñamos que, no canto de tres piratas, estamos a falar dos deputados do congreso. Temos tres partidos representados no congreso: o Partido A, o Partido B e mais o Partido C. Supoñamos que hai 100 escanos, que se reparten de xeito lineal á porcentaxe de votos obtidos (descartando abstencións e votos nulos). Así, PA obtén o 49 % dos votos e polo tanto 49 escanos. PB obtén o 35 % dos votos (35 escanos) e PC o 16 % restante (16 escanos).

Unha vez que os deputados foron escollidos, o seu escano é seu e o seu voto é seu… pero na práctica nunca (ou case nunca) votan contra o que decide o seu partido. Así que, perante unha decisión problemática, os 49 deputados de PA votarán en bloque, o mesmo farán os 35 deputados de PB e o mesmo os 16 deputados de PC.

Se para unha decisión se precisa «maioría da metade máis un», cales son entón os índices de poder de cada partido?

1, 1 e 1.

Os tres teñen o mesmo índice de poder.

Tanto ten que PC só represente o 16 % dos votantes. Se PA e PB non están de acordo, o voto de PC é decisivo. Exactamente o mesmo que lle ocorre a PA: se os outros dous non están de acordo, o seu voto é decisivo; se xa están de acordo, o seu voto é irrelevante. E, por suposto, pásalle o mesmo a PB.

Atentos: os tres partidos teñen porcentaxes de votos moi diferentes, pero os seus índices de poder son exactamente iguais. Seguro que podes lembrar algunha situación histórica na que ocorrese precisamente iso, e á fin (pois que os dous partidos grandes eran inimigos irreconciliables), o voto bisagra teno o partido pequeno.

Imos ir agora ao extremo oposto: cando partidos cunha representación altísima non pintan nada. É o que sucede cando un deles ten a maioría absoluta.

Supoñamos que o Partido A obtén 51 escanos, o Partido B 48 escanos e o Partido C só un. Para calquera decisión na que precisen «a metade máis un», tanto ten o que digan os partidos B e C: só importa o que diga PA. É dicir, o índice de poder de PB e PC é cero, e o de PA é infinito. E iso que o Partido B representa o 48 % dos cidadáns…

Aínda che estraña que existan democracias onde non vota nin Cristo ou onde se producen guerras civís?

Con tres xogadores só temos esas dúas situacións: ou un deles ten maioría absoluta (e consecuentemente acumula todo o poder) ningún deles a ten (e o índice de poder é 1 para os tres xogadores). Calcular o índice de poder para situacións nas que haxa máis xogadores non é en absoluto trivial (agás para os casos extremos, como por exemplo que un teña a maioría absoluta). E non é porque coñecer esta relación non sexa útil. Dese xeito, talvez podería facerse que, como piden algúns autores, a porcentaxe de votos de cada formación política non se fixese corresponder coa súa representación parlamentaria, senón co seu índice de poder. Segundo estes autores, un partido soamente debería superar o 50 % dos escanos se obtivese o 100 % dos votos.2

Xa o di o refrán: neste país, todos levamos dentro un presidente do goberno e un adestrador nacional (de fútbol, claro). Ben, pois semella que o da política non é tan doado como pensabamos…


Este artigo e mais a súa tradución están publicados baixo licenza CC BY-NC-ND 2.5 ES.


1. Por se alguén non o ten claro, non nos referimos a «partidarios do Partido Demócrata dos Estados Unidos», senón a «partidarios da democracia».

2. Secasí, esta proposta traería outros problemas políticos, así que non a tomedes como unha proposta seria, só como un xogo. Mesmo nas nosas democracias reais, cando o poder está moi disgregado soamente se aproban leis triviais, porque só se pon de acordo en trivialidades; por exemplo, podemos pensar no Pentapartito italiano da década de 1980.

Advertisements

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair /  Cambiar )

Google photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google. Sair /  Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair /  Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair /  Cambiar )

Conectando a %s