Breve historia da cristalografía (V): Cristais de neve, Frankenheim ou o novo Euclides

[Esta é unha tradución adaptada do artigo orixinal de 12 de decembro de 2013 Breve historia de la cristalografía: (V) Copos de nieve, Frankenheim o el nuevo Euclides, de César Tomé López, que pode lerse nesta ligazón.]

[O artigo previo da serie é Breve historia da cristalografía (IV): Átomos e balas de canón.]

Viamos na entrega anterior desta serie que Kepler mantivera unha correspondencia moi interesante con Thomas Harriot e que, no transcurso desta, Harriot lle mencionara a Kepler o problema do empaquetado de esferas. Diciamos tamén que Kepler chegou decontado á conxectura que leva o seu nome.

8629790711_eef26cd72b_z
Fonte: Alexey Kljatov

Como parte deste proceso, Kepler decatouse de que o empaquetado compacto de esferas nunha soa capa daba lugar a estruturas hexagonais que evocan un panal de abellas. Isto levouno a cuestionarse (e a buscar unha resposta satisfactoria) sobre a forma hexagonal dos cristais de neve no seu tratado de 1611 Strena seu de nive sexangula («Un cristal de neve hexagonal»). Isto xa era bastante excepcional, pois daquela non era común o coñecemento sobre a forma dos cristais de neve.

Olaus Magnus Historia om de nordiska folken

Como exemplo do coñecemento desa época temos a Historia de gentibus septentrionalibus («Historia dos pobos do norte») de Olof Månsson (latinizado como Olaus Magnus), publicada en 1555. Nela aparece unha ilustración das folerpas de neve na que é evidente que o autor, sueco aínda por riba, non é consciente da forma hexagonal dos cristais. Vemos que hai folerpas con forma de man, de ollo ou de media lúa, por exemplo.

honey_comb

Kepler chegou á conclusión de que a forma dos cristais está relacionada coa xeometría dos panais das abellas. Este empaquetado compacto do panal pode estenderse nas tres dimensións do espazo do mesmo xeito no que os grans enchen unha milgranda. A elección de Kepler do cristal de neve (plano) para a súa explicación no canto dos cristais poliédricos de cuarzo que empregou Cardano ten a vantaxe de que non se lle aplica a refutación de Escalíxero (véxase a IV entrega). Por suposto, este razoamento non é válido desde a perspectiva actual: nin a molécula de auga é unha esfera nin o empaquetado do cristal de auga de orixe atmosférica pode ser chamado compacto de xeito ningún. Porén, paga a pena detérmonos un momento nel.

640px-pomegranate03_edit

No momento de compor De nive sexangula, Kepler xa era un atomista convencido e consideraba a materia como composta por átomos esféricos. Avaliara dous xeitos diferentes nos que as esferas poden empaquetarse en dúas dimensións, cadrado e hexagonal, comprobando que este proporcionaba un empaquetado máis compacto. A extensión destes empaquetados a tres dimensións levaba, no caso do cadrado, a unha disposición cúbica na que cada esfera está rodeada por outras seis esferas (un empaquetado cúbico simple ou primitivo), mentres a disposición hexagonal levaba a un empaquetado máis mesto, no que cada esfera ten doce veciños. Este é o empaquetado que, segundo a súa conxectura, tiña a meirande densidade posible.

kepler_conjecture_2

Do mesmo xeito ca Cardano e Kepler, Robert Hooke (do que xa falamos na II entrega) tamén cría que a natureza atómica da materia podía explicar as formas regulares dos cristais. A diferenza dos primeiros, que se dedicaron aos hexágonos case exclusivamente, Hooke tamén considerou outras formas e decatouse de que o empaquetado compacto de esferas podería explicar toda sorte de formas diferentes que se poden atopar nos cristais.

hooke-1665

Hooke foi un paso máis alá e debuxou na súa Micrographia (1665) estudos detallados para tentar determinar como se empaquetan os átomos para dar lugar aos distintos corpos cristalinos. A súa idea era observar detalladamente cristais, naturais e artificiais, para determinar todas as formas posibles, e despois tratar de construílas empregando esferas. Fixémonos en que disto se segue con naturalidade a idea de que só son posibles certos ángulos nos cristais; porén, Hooke nunca dixo tal de xeito explícito, polo que a lei da constancia dos ángulos se lle atribúe a Steno aínda que o seu De solido é de 1669.

Estruturas cristalinas

Hooke nunca completou o seu proxecto máis ambicioso. De feito precisáronse 160 anos de observacións antes de poder tentar unha construción xeral de formas cristalinas. En 1826 Moritz Ludwig Frankenheim publicou Crystallonomische Aufsätze, o seu intento de sistematizar a meirande parte dos cristais coñecidos baseándose nas súas simetrías. Chegou á conclusión de que soamente existían 32 combinacións de operacións de simetría. Hoxe diriamos que só existen 32 grupos puntuais cristalográficos que definen 32 clases de cristais. Frankenheim non empregou a definición de grupo (Galois, 1829), cuxo uso non se xeneralizaría ata despois de 1846.

Nalgúns textos a descuberta dos 32 grupos puntuais cristalográficos aparece atribuída a Johann F. C. Hessel, que a realizou de xeito independente catro anos despois de Frankenheim, en 1830, se ben pasou desapercibida ata que a redescubriu Ostwald en 1897; tamén aparecen atribucións a Auguste Bravais (1848) e mais a Axel Gadolin (1867) dependendo de se o texto é alemán, francés ou ruso, respectivamente.

Este primeiro paso levou a Frankenheim a considerar cantos xeitos podería haber de ordenar puntos (átomos esféricos) periodicamente no espazo euclidiano (facemos esta puntualización porque os cuasicristais, que son cuasiperiódicos no espazo euclidiano, son periódicos en espazos de, ao menos, cinco dimensións, pero ese é outro tema). En 1845 (esta data é importante) chegou á conclusión de que só habería 15 simetrías diferentes para unha disposición periódica de puntos no espazo, é dicir, 15 redes cristalinas.

Frankenheim fixo todo o traballo, pero o mérito levaríao outro, unha vez máis. Como diciamos máis arriba, a teoría de grupos popularizouse entre os matemáticos a partir de 1846, un ano despois da publicación de Frankenheim. En 1848 Auguste Bravais publica as súas Études cristallographiques, nas cales expón os achados de Frankenheim pero indica matematicamente que dúas das redes de Frankenheim son, de feito, equivalentes e que, polo tanto, o número de redes elementais é 14. Desde entón son coñecidas como redes de Bravais; por outra banda, reto o amable lector a que busque algunha mención a Frankenheim nalgún texto cristalográfico xeral.

nature10568-f3-2

Así, Frankenheim (e Bravais) resolveron o problema de dispor puntos no espazo. Pero que pasa se aquilo que hai que distribuír espacialmente son moléculas que non teñen por que ter unha simetría propia? Esta pregunta foi finalmente resolta en 1891 por dous matemáticos que publicaron independentemente as definicións dos 230 grupos espaciais cristalográficos (se admitimos que as copias quirais son distintas; se non, 219) pero que colaboraron na elaboración destas ideas: Ievgraf Stepánovich Fiodorov e mais Arthur Moritz Schoenflies.

Se ben a forma dos cristais era un bo argumento a favor da teoría atómica e a teoría atómica tamén era unha boa base para as teorías cristalográficas, a oposición ao atomismo persistía. O concepto revitalizárao a principios do século xix John Dalton, pero ata o primeiro Congreso de Químicos en Karlsruhe (1860) non tivo unha especie de recoñecemento oficial. Así a todo, moitos científicos abominaban a teoría e seguiron facéndoo ata o século xx. A verdade é que non se lles pode imputar obstinación nin falla de coñecemento, senón acaso excesivo rigor ou que se deixaron levar por certas correntes filosóficas. De todos os xeitos, as probas experimentais definitivas atoparíanse no século xx: a radioactividade, a confirmación da teoría de Einstein do movemento browniano e mais, precisamente, a difracción dos raios X polos cristais.


Sobre o autor: César Tomé López (@EDocet) é químico e divulgador científico, autor de Experientia docet e editor xefe do Cuaderno de cultura científica e de Mapping Ignorance.

Breve historia da cristalografía (IV): Átomos e balas de canón

[Esta é unha tradución adaptada do artigo orixinal de 5 de decembro de 2013 Breve historia de la cristalografía: (IV) Átomos y balas de cañón, de César Tomé López, que pode lerse nesta ligazón.]

[O artigo previo da serie é Breve historia da cristalografía (III): Goniómetros e óxidos doces.]

A idea de que a divisibilidade da materia sexa finita é antiintuitiva. Agora pode semellarnos evidente porque medramos coa idea dos átomos, pero non é en absoluto un concepto evidente. A pesar diso, estivo presente na filosofía practicamente desde o seu comezo.

bhagavad_gita

E non soamente filosofía occidental. Moitos afirman que probablemente fose Kanada, alá polo século ii a. de C. (se ben algunhas fontes din que viviu no século vi a. de C.), quen introduciu no pensamento hindú o concepto de anu ou aṇor (átomo). A verdade é que o Bhagavad-gītā, con seguridade do século ii a. de C. ou anterior, xa recolle, no capítulo oito, versículo nove, o seguinte (énfase nosa):

kaviṃ purāṇam anuśhāsitāram
aṇor aṇīyānsam anusmared yaḥ
sarvasya dhātāram achintya-rūpam
āditya-varṇaṃ tamasaḥ parastāt

Seguir lendo